Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 12. BAZI LINEER OLMAYAN DIOPHANTINE DENKLEMLER62
yazabiliriz. Buradaki u ve v sayılarıaralarında asaldır. Gerçekten (u, v) = d > 1
olsaydıd | (v − u) = y ve d | (v + u) = z olurdu ki bu da (y, z) = 1 ile çeli¸sirdi.
2 = uv e¸sitli˘gi için YardımcıTeorem 12.1.3’den
x
2
u = t 2 ve v = s 2
olacak ¸sekilde s, t tamsayılarıvardır. Bu sayılar yardımıyla
z = v + u = s 2 + t 2
y = v − u = s 2 − t 2
x 2 = 4vu = 4s 2 t 2
veya x = 2st elde edilir. (y, z) = 1 oldu˘gundan (s, t) = 1 olur. ¸Simdi de s =
t (mod 2) oldu˘gunu yani ikisinin birden tek veya çift olamayaca˘gınıgösterelim.
s ve t tek veya çift olsalardı z ve y çift olurdu ki bu da z ve y sayılarının tek
olmasıile çeli¸sir.
Tersine s ve t teoremdeki ko¸sullarısa˘glayan iki tamsayıolsun. Yani x = 2st, y =
s 2 − t 2 , z = s 2 + t 2 ve s > t > 0, (s, t) = 1 ve s = t (mod 2) olsun.
x 2 + y 2 = (2st) 2 + s 2 − t 2 2 = s 2 + t 2 2 = z 2
oldu˘gundan (x, y, z) bir Pisagor üçlüsüdür. ¸Simdi bu üçlünün ilkel Pisagor
üçlüsü oldu˘gunu gösterelim. (x, y, z) = d > 1 olsun. p | d olacak ¸sekilde bir
p asal sayısı vardır. s = t (mod 2) oldu˘gundan s veya t tek, di˘geride çifttir.
Dolayısıyla z tek olur. p | d | z oldu˘gundan p = 2 dir. Ayrıca p | y ve p | z
oldu˘gundan p | (y + z) ve p | (y − z) yani p | 2s 2 ve p | 2t 2 ve dolayısıyla
p | s ve p | t elde edilir. Fakat bu durum (s, t) = 1 olmasıyla çeli¸sir. Dolayısıyla
(x, y, z) = 1 dir.
x y z
s t 2st s 2 − t 2 s 2 + t 2
2 1 4 3 5
3 2 12 5 13
4 1 8 15 17
4 3 24 7 25
5 2 20 21 29
5 4 40 9 41
6 1 12 35 37
6 5 60 11 61
7 2 28 45 53
7 4 56 33 65
7 6 84 13 85
Dikkat edilirse tabloda (x, y, z) ilkel Pisagor üçlüleri için, x veya y sayılarından
birinin 3 ile bölündü˘gü görülmektedir. Teorem 12.1.4’ten (s, t) = 1 olmak