Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 9. KUADRATIK KAR¸SILIK KURALI 28
Kanıt. r sayısı, p’nin bir ilkel kökü olsun. r, r 2 , . . . , r p−1 sayıları (mod p)’de
1, 2, . . . , p − 1 sayılarına denktirler (sıradan ba˘gımsız olarak). Yani 1 ile p − 1
arasındaki her a sayısıiçin a ≡ r k (mod p) olacak ¸sekilde tek bir k (1 ≤ k ≤ p−1)
sayısıvardır. r, p’nin ilkel kökü oldu˘gundan
olur ve buradan
r p−1 ≡ 1 (mod p) ⇒ r p−1 − 1 ≡ 0 (mod p)
⇒ r p−1
2 − 1 r p−1
2 + 1 ≡ 0 (mod p)
=0 (ilkel kök)
⇒ r p−1
2 ≡ −1 (mod p)
(a/p) = r k /p ≡ p−1
r
k 2
=
r p−1
2
k
≡ (−1) k (mod p)
elde edilir. (a/p) ve (−1) k de˘gerleri sadece 1 ve −1 olabilece˘ginden (a/p) =
(−1) k olur. Böylece
p−1
p−1
(a/p) = (−1) k = 0
elde edilir.
a=1
a=1
Teorem 9.2.7’nin ispatında elde etti˘gimiz bir bilgiyi sonuç olarak verelim.
Sonuç 9.2.8. p tek asal sayı r, p’nin bir ilkel kökü olsun. p’nin kuadratik
kalanları (mod p)’de r’nin çift kuvvetlerine ve p’nin kuadratik kalanı olmayan
sayılar da (mod p)’de r’nin tek kuvvetlerine denktir.
Böylece p asalının ilkel kökleri, kuadratik kalanlarınıtespit etmede kullanılabilir.
2 sayısı, p = 13 için bir ilkel köktür. 13’ün kuadratik kalanları(mod 13)’te
2’nin çift kuvvetleridir.
2 2 ≡ 4 2 8 ≡ 9
2 4 ≡ 3 2 10 ≡ 10
2 6 ≡ 12 2 12 ≡ 1
Benzer ¸sekilde 13’ün kuadratik kalan olmayanları(mod 13)’te 2’nin tek kuvvetleridir.
2 1 ≡ 2 2 7 ≡ 11
2 3 ≡ 8 2 9 ≡ 5
2 5 ≡ 6 2 11 ≡ 7
Kuadratik kalan kuralının ispatında kullanılan Gaus yardımcı teoremini
verelim.
Teorem 9.2.9 (Gauss YardımcıTeoremi). p tek asal sayısıve (a, p) = 1 olacak
¸sekilde a sayısıverilsin.
p − 1
S = a, 2a, 3a, . . . , a
2