You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
BÖLÜM 13. TAMSAYILARIN KARE TOPLAMLARI OLARAK GÖSTERIMLERI76<br />
13.3 Dört Kare Toplamı<br />
Teorem 13.3.1. 4 n (8m + 7) formundaki tamsayılar üç kare toplamı¸seklinde<br />
yazılamazlar.<br />
Kanıt. Öncelikle 8m + 7 formundaki sayıların üç kare toplamı¸seklinde yazılamayaca˘gınıgösterelim.<br />
Herhangi bir a tamsayısıiçin<br />
dir. Dolayısıyla<br />
a 2 ≡ 0, 1, 4 (mod 8)<br />
a 2 + b 2 + c 2 ≡ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (mod 8)<br />
olur. 8m + 7 ≡ 7 (mod 8) oldu˘gundan bu formdaki sayılar üç kare toplamı<br />
¸seklinde yazılamazlar. ¸Simdi de n ≥ 1 için 4 n (8m + 7) formundaki sayılarıele<br />
alalım.<br />
4 n (8m + 7) = a 2 + b 2 + c 2<br />
olsun.Bu takdirde a, b, c sayılarıçift olmalıdır. a = 2a1, b = 2b1, c = 2c1 olmak<br />
üzere<br />
4 n (8m + 7) = (2a1) 2 + (2b1) 2 + (2c1) 2<br />
= 4 a 2 1 + b 2 1 + c 2 1<br />
4 n−1 (8m + 7) = a 2 1 + b 2 1 + c 2 1<br />
yazılabilir. n − 1 ≥ 1 ise bu ¸sekilde devam edilerek<br />
8m + 7 = a 2 n + b 2 n + c 2 n<br />
elde edilir ki bu da bu da 8m + 7 formundaki sayıların üç kare toplamı¸seklinde<br />
yazılamamasıile çeli¸sir. Dolayısıyla 4 n (8m + 7) formundaki tamsayılar üç kare<br />
toplamı¸seklinde yazılamazlar.<br />
YardımcıTeorem 13.3.2 (Euler). m ve n sayılarıdört kare toplamı¸seklinde<br />
yazılabiliyor ise mn sayısıda dört kare toplamı¸seklinde yazılabilir.<br />
Kanıt. m = a2 1 + a2 2 + a2 3 + a2 4 ve m = b2 1 + b2 2 + b2 3 + b2 4 olsun.<br />
mn = a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 + a 2 2<br />
4 b1 + b 2 2 + b 2 3 + b 2 4<br />
= (a1b1 + a2b2 + a3b3 + a4b4) 2 +<br />
+ (a1b2 − a2b1 + a3b4 − a4b3) 2<br />
+ (a1b3 − a2b4 − a3b1 + a4b2) 2<br />
+ (a1b4 + a2b3 − a3b2 − a4b1) 2<br />
YardımcıTeorem 13.3.3. p tek asal sayıise<br />
x 2 + y 2 + 1 ≡ 0 (mod p)<br />
kongrüansının, 0 ≤ x0, y0 ≤ p−1<br />
2 olacak ¸sekilde x0, y0 çözümü vardır.
Change language