You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
BÖLÜM 8. ˙ILKEL KÖKLER VE ˙INDEKSLER 21<br />
e¸sitli˘ginden<br />
φ (n)<br />
d indra ≡ 0 (mod φ (n))<br />
kongrüansına denktir. Bunun sa˘glanması için gerek ve yeter ¸sart d|indra olmalıdır.<br />
Bu ise xk ≡ a (mod n) kongrüansının çözümünün olmasıiçin gerek ve<br />
yeter ¸sarttır.<br />
Sonuç 8.4.5. Bir p asal sayısıve (a, p) = 1 olacak ¸sekilde bir a sayısıverilsin.<br />
xk ≡ a (mod p) kongrüansının bir çözümünün olması için gerek ve yeter ¸sart<br />
d = (k, p − 1) olmak üzere a p−1<br />
d ≡ 1 (mod (p − 1)) olmasıdır.<br />
Örnek 8.4.6.<br />
x 3 ≡ 4 (mod 13) (8.20)<br />
kongrüansını ele alalım. d = (3, 12) = 3 ve 12<br />
3 = 4 olur. Fakat 44 ≡ 9 =<br />
1 (mod 12) oldu˘gundan Teorem 8.4.4’ten, (8.20) kongrüansının çözümü yoktur.<br />
Fakat aynıteoremden,<br />
x 3 ≡ 5 (mod 13)<br />
kongrüansı, 5 4 = 625 ≡ 1 (mod 12) oldu˘gundan çözüme sahiptir ve tam olarak<br />
(mod 13)’de 3 tane çözümü vardır. Bu çözümleri bulmak için indeksleri kullanalım.<br />
x 3 ≡ 5 (mod 13) kongrüansı,<br />
kongrüansına denktir.<br />
3.ind2x ≡ ind25 (mod 12)<br />
3.ind2x ≡ 9 (mod 12)<br />
ind2x ≡ 3 (mod 4)<br />
Bu durumda, (mod 12)’de ind2x, 3, 7 veya 11 olabilir. Yani x 3 ≡ 5 (mod 13)<br />
kongrüansınısa˘glayan x sayıları, 2 3 ≡ 8, 2 7 ≡ 11 ve 2 11 ≡ 7 (mod 13) dir.
Change language