Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 15. SÜREKLI KESIRLER 84
olur.
Rasyonel sayıların sonlu basit sürekli kesir gösterimi birden fazla olabilir.
an > 1 ise an = (an − 1) + 1 = (an − 1) + 1
1 yazılabilir ve
[a0; a1, . . . , an−1, an] = [a0; a1, . . . , an−1, an − 1, 1]
an = 1 ise an−1 + 1
an = an−1 + 1
1 = an−1 + 1 yazılabilir ve
[a0; a1, . . . , an−1, an] = [a0; a1, . . . , an−1 + 1]
olur.
Yani her rasyonel sayıiki farklısonlu basit sürekli kesir gösterimine sahiptir.
Örne˘gin 19/51 sayısıiçin
yazabiliriz.
[0; 2, 1, 2, 6] = [0; 2, 1, 2, 5, 1]
Tanım 15.2.5. [a0; a1, . . . , an] sonlu kesiri verilsin. 1 ≤ k ≤ n sayılarıiçin
Ck = [a0; a1, . . . , ak]
sonlu kesirine, [a0; a1, . . . , an] sonlu kesirinin k. yakla¸sımıdenir. k = 0 için
¸seklinde tanımlanır.
C0 = a0
Örnek 15.2.6. 19/51 = [0; 2, 1, 2, 6] sayısının yakla¸sımlarınıbulalım.
C0 = 0
C1 = [0; 2] = 0 + 1 1
=
2 2
C2 = [0; 2, 1] = 0 + 1
2 + 1
1
C3 = [0; 2, 1, 2] = 0 +
C4 = [0; 2, 1, 2, 6] = 19
51
= 1
3
1
2 + 1
1+ 1
2
= 3
8
Teorem 15.2.7. [a0; a1, . . . , an] sonlu basit sürekli kesiri verilsin.
p0 = a0
q0 = 1
p1 = a1.a0 + 1 q1 = a1
pk = ak.pk−1 + pk−2 qk = ak.qk−1 + qk−2
olmak üzere [a0; a1, . . . , an] sonlu kesirinin 0 ≤ k ≤ n için k. yakla¸sımı
dır.
Ck = pk
qk