Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 13. TAMSAYILARIN KARE TOPLAMLARI OLARAK GÖSTERIMLERI70
Kanıt. ⇒: Teorem 13.2.2’den .
⇐=: p ≡ 1 (mod 4) olsun. Bu durumda (−1/p) = 1 yani −1 p’nin kuadratik
kalanıoldu˘gundan ,
a 2 ≡ −1 (mod p)
olacak ¸sekilde bir a tamsayısıvardır ve (a, p) = 1 dir.
kongrüansıYardımcıTeorem 13.2.3’ten
ax ≡ y (mod p)
0 < |x0| ≤ k − 1 < √ p ve 0 < |y0| ≤ k − 1 < √ p
olacak ¸sekilde x0, y0 çözümüne sahiptir.
−x 2 0 ≡ a 2 x 2 0 ≡ (ax0) 2 ≡ y 2 0 (mod p)
x 2 0 + y 2 0 ≡ 0 ≡ p (mod p)
elde edilir. Böylece k ≥ 1 tamsayısıiçin
yazılabilir.
oldu˘gundan k = 1 yani
elde edilir.
x0 + y0 = kp
kp = x0 + y0 < x 2 0 + y 2 0 < 2p
x 2 0 + y 2 0 = p
Sonuç 13.2.5. 4k + 1 formundaki her asal iki kare toplamı olarak tek türlü
(sıradan ba˘gımsız) yazılabilir.
Kanıt. a, b, c, d pozitif tamsayılar olmak üzere p = a 2 + b 2 = c 2 + d 2 olsun.
a, b, c, d < √ p oldu˘gundan
olmalıdır. E˘ger ad + bc = p ise
a 2 d 2 − b 2 c 2 = p d 2 − b 2 ≡ 0 (mod p)
⇒ p | (ad) 2 − (bc) 2
⇒ p | (ad − bc) (ad + bc)
ad − cd = 0 veya ad + bc = p
p 2 = a 2 + b 2 c 2 + d 2
= (ad + bc) 2 + (ac − bd) 2
= p 2 + (ac − bd) 2