Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 11. ÖZEL FORMDAKI SAYILAR 59
¸seklinde elde etmi¸slerdir.
1980 yılında Brent ve Pollard F8 Fermat sayısının en küçük asal çarpanını
1238926361552897
olarak belirlemi¸slerdir. Di˘ger çarpan ise 62 basamaklıdır.
1963 yılında Selfridge ve Hurwitz 4933 basamaklıF14 Fermat sayısına Pepin
testini uygulamı¸slar ve birle¸sik sayı oldu˘gunu göstermi¸slerdir. Fakat hala F14
sayısının çarpanlarıbilinmemektedir.
¸Simdi Fermat sayılarının bölenlerini belirlemeye yarayan Euler ve Lucas’
a ait teoremi verelim. 1947 yıllarında Euler, Fn sayısının her asal böleninin
k.2 n+1 +1 formunda formunda olaca˘gınıgöstermi¸s, yüzyıl sonra Lucas bu sonucu
k sayısının çift olmasıgerekti˘gi ¸seklinde geli¸stirmi¸stir.
Teorem 11.4.5. n ≥ 2 olmak üzere, Fn = 22n + 1 Fermat sayısının her p asal
böleni, p = k.2n+2 + 1 formundadır.
Kanıt. Fn sayısının her p asal böleni için
dir. Kare alalım,
2 2n
≡ −1 (mod p) (11.4)
2 2n+1
≡ 1 (mod p) .
2 sayısının (mod p)’ye göre mertebesi h olsun. Bu durumda
dir. 1 ≤ r ≤ n için h = 2 r olsaydı
her iki tarafın devamlıkaresi alınarak
yani (11.4)’den
h | 2 n+1
2 2r
≡ 1 (mod p)
2 2n
≡ 1 (mod p)
−1 ≡ 1 (mod p)
çeli¸skisi elde edilirdi. Dolayısıyla h = 2 n+1 oldu˘gu elde edilir. h = 2 n+1 , 2
sayısının (mod p)’de mertebesi oldu˘gundan φ (p) = p − 1 sayısını böler yani
2 n+1 | (p − 1). n ≥ 2 ise p ≡ 1 (mod 8) olaca˘gından Teorem 9.2.10 yardımıyla
(2/p) = 1 elde edilir. Euler kriterinden
2 p−1
2 ≡ (2/p) = 1 (mod p)
olur. Yine h = 2n+1 , 2 sayısının (mod p)’de mertebesi oldu˘gundan 2n+1 | p−1
2
olmalıdır. Buradan da bir k ∈ Z için p = k.2n+2 + 1 oldu˘gu elde edilir.