You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
BÖLÜM 8. ˙ILKEL KÖKLER VE ˙INDEKSLER 3<br />
Kanıt. ⇐= : k|h olsun. Bu durumda h = kt olacak ¸sekilde t ∈ Z vardır.<br />
a h ≡ a kt ≡ a kt ≡ 1 t ≡ 1 (mod n)<br />
elde edilir.<br />
=⇒ : a h ≡ 1 (mod n) olsun. Bölme algoritmasından h = qk + r, 0 ≤ r < k<br />
olacak ¸sekilde q, r ∈ Z vardır. Bu durumda;<br />
1 ≡ a h ≡ a qk+r ≡ a kq a r = 1 q a r ≡ a r (mod n)<br />
yani a r ≡ 1 (mod n) elde edilir. Bu r = 0 olmasınıgerektirir. Aksi takdirde bu<br />
durum k’nın a sayısının (mod n)’ye göre mertebesi olmasıile çeli¸sir. Dolayısıyla<br />
h = qk yani k|h olur.<br />
Teorem 8.1.2 yardımıyla, a sayının (mod n)’ye göre mertebesini bulmak için<br />
φ (n) sayısının bölenlerini kullanabiliriz. Örne˘gin 2 sayısının (mod 13)’e göre<br />
mertebesi k olsun. φ (13) = 12 ve k|φ (13) oldu˘gundan k sayısı 1, 2, 3, 4, 6, 12<br />
sayılarından biridir.<br />
2 1 ≡ 2, 2 2 ≡ 4, 2 3 ≡ 8, 2 4 ≡ 3, 2 6 ≡ 12 (mod 13)<br />
oldugundan 2 12 ≡ 1 (mod 13) elde edilir yani 2 sayısının (mod 13)’e göre mertebesi<br />
12’dir.<br />
φ (n)’nin keyfi bir d böleni için (mod n)’ye göre mertebesi d olacak ¸sekilde<br />
bir a sayısıolmayabilir. Gerçekten; n = 12 için φ (12) = 4 olur ve<br />
1 1 ≡ 5 2 ≡ 7 2 ≡ 11 2 ≡ 1 (mod 12)<br />
oldu˘gundan (mod 12)’e göre mertebesi 4 olan bir sayıyoktur. (Not: Mertebe için<br />
(a, n) = 1 ko¸sulunun sa˘glanmasıgerekti˘gini unutmayınız.)<br />
Teorem 8.1.3. a sayısının (mod n)’ye göre mertebesi k ise a i ≡ a j (mod n)<br />
olmasıiçin gerek ve yeter ¸sart i ≡ j (mod k) olmasıdır.<br />
Kanıt. =⇒ : ai ≡ aj (mod n) olsun (i ≥ j). (a, n) = 1 oldu˘gundan aj , n = 1<br />
olur ve denkli˘gin her iki tarafını aj ile bölersek ai−j <br />
≡ 1<br />
n mod (aj <br />
,n) yani<br />
ai−j ≡ 1 (mod n) elde edilir. Teorem 8.1.2 yardımıyla k| (i − j) olur. Böylece<br />
i ≡ j (mod k) oldu˘gu gösterilmi¸s olur.<br />
⇐= : i ≡ j (mod k) olsun. Bu durumda i = j + kq olacak ¸sekilde q ∈ Z vardır.<br />
a i ≡ a j+kq ≡ a j a kq ≡ a j 1 q ≡ a j (mod n) .<br />
Sonuç 8.1.4. a sayısının (mod n)’ye göre mertebesi k ise a, a 2 , . . . , a k sayıları<br />
(mod n)’ye göre kongrüant de˘gildirler (farklıkalanlara sahiptirler).<br />
¸Simdi a sayısının (mod n)’ye göre mertebesini kullanarak, h > 0 için a h<br />
sayısının (mod n)’ye göre mertebesini bulalım.
Change language