Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
BÖLÜM 8. ˙ILKEL KÖKLER VE ˙INDEKSLER 19<br />
elde edilir ve yine Teorem 8.1.3’ten<br />
olur.<br />
(c) A¸sikar.<br />
indra k ≡ k.indra (mod φ (n))<br />
Teorem 8.4.2’den anla¸sılaca˘gıüzere indr, log r fonksiyonu gibi davranmaktadır.<br />
˙Indeks teorisi, özel tipteki kongrüansların çözümünde kullanılabilir. (a, n) =<br />
1 ve n pozitif tamsayısıbir ilkel köke sahip olmak üzere (r olsun) k ≥ 2 için<br />
x k ≡ a (mod n)<br />
binom kongrüansınıele alalım. Bu denklikten indrx k = indra olur ve de Teorem<br />
8.4.2’den bu kongrüans, bilinmeyeni indrx olan<br />
k.indrx ≡ indra (mod φ (n))<br />
lineer kongrüansına denk olur. (k, φ (n)) = d olmak üzere d|indra ise bu kongrüans<br />
d tane farklıçözüme sahiptir.<br />
k = 2 ve n = p tek asal sayıoldu˘gu durumda, (2, p − 1) = 2 oldu˘gundan,<br />
x 2 ≡ a (mod p) kuadratik kongrüansının çözümünün olmasıiçin gerek ve yeter<br />
¸sart r, p’nin bir ilkel kökü olmak üzere 2|indra olmasıdır. Dolayısıyla bu kongrüansın<br />
tam olarak 2 tane çözümü vardır.<br />
Örnek 8.4.3.<br />
4x 9 ≡ 7 (mod 13) (8.14)<br />
kongrüansını, yukarıda de˘gindi˘gimiz yöntemi kullanarak çözelim. 2, 13’ün ilkel<br />
kökü oldu˘gundan, 1 ≤ a ≤ 12 sayılarıiçin a ve ind2a de˘gerlerini içeren bir tablo<br />
olu¸sturalım. (mod 13)’e göre<br />
denkliklerinden tablomuz<br />
2 1 ≡ 2 2 5 ≡ 6 2 9 ≡ 5<br />
2 2 ≡ 4 2 6 ≡ 12 2 10 ≡ 10<br />
2 3 ≡ 8 2 7 ≡ 11 2 11 ≡ 7<br />
2 4 ≡ 3 2 8 ≡ 9 2 12 ≡ 1<br />
a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12<br />
ind2a 12 1 4 2 9 5 11 3 8 10 7 6<br />
¸seklinde olur. 4x 9 ≡ 7 (mod 13) kongrüansının çözümünün olmasıiçin gerek ve<br />
yeter ¸sart<br />
ind24x 9 = ind27 (8.15)<br />
ind24 + ind2x 9 ≡ ind27 (mod 12) (8.16)<br />
ind24 + 9.ind2x ≡ ind27 (mod 12) (8.17)
Change language