You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
BÖLÜM 11. ÖZEL FORMDAKI SAYILAR 45<br />
11.2 Mükemmel <strong>Sayılar</strong><br />
<strong>Sayılar</strong> teorisi tarihi birçok konjektür ve açık problemle doludur. ¸Simdiki kısımda<br />
mükemmel sayılarla ilgili olan konjektür ve problemlere de˘ginece˘giz. Bunlardan<br />
bazılarıçözülmü¸s, bazılarıise hala çözülememi¸stir.<br />
Pisagor 6 sayısının kendisinden farklıpozitif bölenlerinin toplamının yine 6<br />
oldu˘gunu gözlemlemi¸stir.<br />
6 = 1 + 2 + 3<br />
6’dan sonraki bu özelli˘ge sahip sayı28’dir.<br />
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14<br />
Pisagorcular bu sayılarımükemmel (perfect) olarak adlandırdılar.<br />
Tanım 11.2.1. n pozitif tamsayısıverilin. E˘ger n sayısıkendisinden farklıpozitif<br />
bölenlerinin toplamına e¸sit ise n sayısına mükemmel sayıdenir.<br />
σ (n) − n de˘geri n sayısının kendisi hariç tüm pozitif bölenlerinin toplamını<br />
verdi˘ginden n sayısının mükemmel olmasıiçin gerek ve yeter ¸sart σ (n) − n = n<br />
yani<br />
σ (n) = 2n<br />
olmasıdır.<br />
Yüzyıllarca filozoflar mükemmel sayıların matematiksel özelliklerinden<br />
ziyade mistik ve dinsel özellikleri ile ilgilenmi¸slerdir. Saint Augustine, Tanrı<br />
dünyayıbir günde yaratabilecekken, yaptı˘gıi¸sin mükemmelli˘gini sembolize etmek<br />
için mükemmel sayıolan 6 günde yarattı˘gınıifade etmi¸stir. Eski Ahit tefsircileri<br />
evrenin mükemmelli˘gini, ayın dünya etrafındaki turunu, mükemmel sayı<br />
olan 28 günde tamamlasıile ifade etmi¸stirler. Yorklu Alcuin, insan ırkının ikinci<br />
jenerasyonunun Hz.Nuh’un gemisindeki 8 ruhun soyundan geldi˘gini, dolayısıyla<br />
8 mükemmel sayıolmadı˘gından ilk jenerasyondan daha az mükemmel oldu˘gunu<br />
söylemi¸stir. Antik yunanda sadece dört tane mükemmel sayıbiliniyordu. Nicomachus<br />
bunları<br />
P1 = 6, P2 = 28, P3 = 496, P4 = 8128<br />
¸seklinde listelemi¸stir. Buradan yola çıkarak, bir basamaklı, iki basamaklı,<br />
üç basamaklı ve dört basamaklı sayılarda sadece birer tane mükemmel sayı<br />
oldu˘gunu ve bunların son basama˘gının 6, 8, 6, 8 ¸sekinde oldu˘gunu gözlemleyerek<br />
a¸sa˘gıdakileri konjektüre etmi¸stir.<br />
1. n. mükemmel sayıPn, n basamaklıdır.<br />
2. Çift olan mükemmel sayıların son basamakları6, 8, 6, 8, . . . ¸seklinde devam<br />
eder.<br />
Bu iki iddia da yanlı¸stır. Be¸s basamaklı mükemmel sayı yoktur. Be¸sinci<br />
mükemmel sayıolan<br />
P5 = 33550336
Change language