Sayılar Teorisi II Ders Notları

More documents

Recommendations

Info

BÖLÜM 9. KUADRATIK KAR¸SILIK KURALI 24 Buradan görüldü˘gü üzere p’nin kuadratik kalanları 1, 3, 4, 9, 10, 12 sayıları ve kuadratik kalan olmayanlar ise 2, 5, 6, 7, 8, 11 sayılarıdır. dikkat edilirde 1 ve 12 arasındaki sayılar yarıyarıya kuadratik kalan olanlar ve olmayanlar olarak ayrılmı¸slardır. Teorem 9.1.3 (Euler Kriteri). p tek asal sayısıve (a, p) = 1 olacak ¸sekilde a sayısıverilsin. a sayısının, p’nin kuadratik kalanıolmasıiçin gerek ve yeter ¸sart a p−1 2 ≡ 1 (mod p) olmasıdır. Kanıt. =⇒ : a sayısı, p’nin kuadratik kalanıolsun. Burumda x 2 ≡ a (mod p) kongrüansının bir çözümü vardır ve bu çözüm x1 olsun. (a, p) = 1 olması, x 2 1, p = 1 olmasını ve dolayısıyla da (x1, p) = 1 olmasını gerektirir. Fermat teoremi yardımıyla elde edilir. a p−1 2 ≡ x 2 1 p−1 2 p−1 ≡ x1 ≡ 1 (mod p) ⇐= : a p−1 2 ≡ 1 (mod p) olsun. r sayısı, p’nin bir ilkel kökü olmak üzere a ≡ r k (mod p) olacak ¸sekilde bir k (1 ≤ k ≤ p − 1) sayısıvardır. Bu durumda p−1 k r 2 ≡ a p−1 2 ≡ 1 (mod p) olur. Teorem 8.1.2’den r’nin (mod p)’ye göre mertebesi olan p − 1, k p−1 2 sayısını böler. Bu durumda k çift sayıdır (k = 2j). Böylece r j 2 ≡ r 2j ≡ r k ≡ a (mod p) ifadesinden r j sayısının, x 2 ≡ a (mod p) kongrüansının bir çözümü oldu˘gu görülür. Yani a sayısı, p’nin bir kuadratik kalanıdır. p tek asal sayısıve (a, p) = 1 olacak ¸sekildeki a sayısıiçin a sayısıp asalının ya kuadratik kalanıdır ya da de˘gildir. Kuadratik kalan oldu˘gunda a 9−1 2 ≡ 1 (mod p) idi. ¸Simdi de kuadratik kalan olmadı˘gında (mod p)’de a 9−1 2 de˘gerini bulalım. Fermat teoreminden a p−1 2 − 1 a p−1 2 + 1 = a p−1 − 1 ≡ 0 (mod p) elde edilir. Bu durumda ya yada a p−1 2 ≡ 1 (mod p) (9.5) a p−1 2 ≡ −1 (mod p) (9.6) olur. Fakat ikisi aynı anda sa˘glanmaz (E˘ger ikisi aynı anda sa˘glansaydı 1 ≡ −1 (mod p) yani p|2 olurdu buda p’nin tek asal olmasıile çeli¸sirdi.). p sayısının kuadratik kalanları(9.5) kongrüansınısa˘gladı˘gından, di˘gerleri yani p sayısının kuadratik kalan olmayanlar (9.6) kongrüansınısa˘glar. Böylece Euler kriteri ¸su ¸sekilde de ifade edilebilir : p tek asal sayısıve (a, p) = 1 olacak ¸sekilde a sayısı verilsin. a sayısının, p’nin kuadratik kalanı olmaması için gerek ve yeter ¸sart a p−1 2 ≡ −1 (mod p) olmasıdır.
BÖLÜM 9. KUADRATIK KAR¸SILIK KURALI 25 Örnek 9.1.4. p = 13 için 2 13−1 2 = 2 6 = 64 ≡ 12 ≡ −1 (mod 13) oldu˘gundan, 2 sayısı, 13’ün kuadratik kalanıde˘gildir. Fakat 3 13−1 2 = 3 6 = (27) 2 ≡ 1 2 ≡ 1 (mod 13) oldu˘gundan, 3 sayısı, 13’ün kuadratik kalanıdır. p asal sayısının büyük oldu˘gu durumlarda hesaplamalar kolay olmayaca˘gından, Euler kriteri, verilen bir sayının, kuadratik kalan olup olmadı˘gının tespitinde pratik bir yöntem olmayacaktır.
Page 1 and 2: Sayılar Teorisi II Ders Notları T
Page 3 and 4: Kısım I SAYILAR TEOR˙IS˙I II 1
Page 5 and 6: BÖLÜM 8. ˙ILKEL KÖKLER VE ˙IND
Page 25: BÖLÜM 9. KUADRATIK KAR¸SILIK KUR
Page 29 and 30: BÖLÜM 9. KUADRATIK KAR¸SILIK KUR
Page 47 and 48: BÖLÜM 11. ÖZEL FORMDAKI SAYILAR
Page 63 and 64: BÖLÜM 12. BAZI LINEER OLMAYAN DIO
Page 69 and 70: Bölüm 13 Tamsayıların Kare Topl
Page 71 and 72: BÖLÜM 13. TAMSAYILARIN KARE TOPLA
Page 77 and 78:
BÖLÜM 13. TAMSAYILARIN KARE TOPLA
Page 79 and 80:
Page 81 and 82:
Page 83 and 84:
Bölüm 15 Sürekli Kesirler 15.1 S
Page 85 and 86:
BÖLÜM 15. SÜREKLI KESIRLER 83 e
Page 87 and 88:
BÖLÜM 15. SÜREKLI KESIRLER 85 Ö
Page 89 and 90:
BÖLÜM 15. SÜREKLI KESIRLER 87 Ö
Page 91 and 92:
BÖLÜM 15. SÜREKLI KESIRLER 89 15
Page 93 and 94:
BÖLÜM 15. SÜREKLI KESIRLER 91 ol
show all

Sayılar Teorisi II Ders Notları

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?