Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 11. ÖZEL FORMDAKI SAYILAR 56
11.4 Fermat Sayıları
Bu kısımda, birçok konjektürün kayna˘gıolan Fermat sayılarından bahsedece˘giz.
Bu sayılar 2 m +1 formundaki sayıların özel halleridir. 2 m +1 sayısıasal ise n ≥ 0
olmak üzere m = 2 n oldu˘gunu gösterelim. Varsayalım ki m = 2 n formunda
olmasın yani m sayısının tek sayıböleni vardır.
Bu durumda
m = (2k + 1) r
2 m + 1 = 2 (2k+1)r + 1 = (2 r ) 2k+1 + 1
= (2 r + 1)
(2 r ) 2k − (2 r ) 2k−1 + · · · + (2 r ) 2 − 2 r
+ 1
elde edilir ki bu da 2 m + 1 sayısının asallı˘gıile çeli¸sir. Sonuç olarak 2 m + 1 sayısı
asal ise m = 2 n formundadır.
Tanım 11.4.1. n ≥ 0 olmak üzere
2 2n
+ 1
formundaki sayılara Fermat sayısıdenir.
Matematiksel sezgileri güvenilir olan Fermat
F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537
sayılarının asal olduklarınıgözlemlemi¸s ve her n de˘geri için Fn sayılarının asal
olabilece˘gini ifade etmi¸stir. Fakat 1732 yılında Euler
F5 = 2 25
+ 1 = 4294967297
sayısının 641 tarafından bölündü˘günü göstermi¸stir.
G. Bennet bu durumu bölme i¸slemi kullanmadan a¸sa˘gıdaki ¸sekilde göstermi¸stir.
Teorem 11.4.2. F5 sayısı641 tarafından bölünür.
Kanıt. a = 2 7 , b = 5 olmak üzere
Ayrıca
olur. Bu e¸sitlik yardımıyla
1 + ab = 1 + 2 7 5 = 641.
1 + ab − b 4 = 1 + a − b 3 b = 1 + 3b = 2 4
F5 = 2 25
+ 1 = 2 32 + 1
= 2 4 a 4 + 1
= 1 + ab − b 4 a 4 + 1
= (1 + ab) a 4 + 1 − a 4 b 4
= (1 + ab) a 4 + (1 + ab) (1 − ab) 1 + a 2 b 2
= (1 + ab) a 4 + (1 − ab) 1 + a 2 b 2
olur ki böylece 641|F5 gösterilmi¸s olur.