Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 8. ˙ILKEL KÖKLER VE ˙INDEKSLER 20
kongrüansının çözümünün olmasıdır. Tablodan elde edilen ind24 = 2 ve ind27 =
11 de˘gerleri (8.15) kongrüansında yerine yazılırsa
9.ind2x ≡ 9 (mod 12)
ind2x ≡ 1 (mod 4) (8.18)
elde edilir. Böylece ind2x de˘geri 1, 5, 9 olur ve dolayısıyla x ≡ 2 1 (mod 13),x ≡
2 5 ≡ 6 (mod 13) ve x ≡ 2 9 ≡ 5 (mod 13) de˘gerleri 4x 9 ≡ 9 (mod 13) kongrüansının
çözümleridir.
Farklıilkel kök kullanımlarında farklıindeks tablosu elde edilir fakat çözümler
aynı olur. 13 için φ (φ (13)) = φ (12) = 4 tane ilkel kök vardır. 2, 13’ün ilkel
kökü oldu˘gundan, 2’nin yardımıyla di˘ger ilkel kökleri de bulalım. (k, φ (13)) = 1
olacak ¸sekildeki 2 k de˘gerleri 13’ün di˘ger ilkel kökleridir. Yani
2 1 ≡ 2, 2 5 ≡ 6, 2 7 ≡ 11, 2 11 ≡ 7 (mod 13)
oldu˘gundan 2, 6, 7 ve 11 sayıları 13’ün di˘ger ilkel kökleridir. ¸Simdi 4x 9 ≡
7 (mod 13) kongrüansını, 13’ün ilkel köklerinden 6’yıkullanarak çözelim. 1 ≤
a ≤ 12 sayılarıiçin a ve ind6a tablosu
a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
ind6a 12 5 8 10 9 1 7 3 4 2 11 6
¸seklinde olur. Dolayısıyla 4x 9 ≡ 7 (mod 13) kongrüansının çözümü
lineer kongrüansının yani
ind64 + 9.ind6x ≡ ind67 (mod 12)
10 + 9.ind6x ≡ 7 (mod 12)
9.ind6x ≡ 9 (mod 12)
ind6x ≡ 1 (mod 4) (8.19)
kongrüansının çözümüdür. Bu çözümler ind2x = 1, 5, 9 yani x ≡
2 1 (mod 13),x ≡ 2 5 ≡ 6 (mod 13) ve x ≡ 2 9 ≡ 5 (mod 13) de˘gerleridir.
Teorem 8.4.4. ˙Ilkel köke sahip bir n sayısıve (a, n) = 1 olacak ¸sekilde bir a
sayısıverilsin. x k ≡ a (mod n) kongrüansının bir çözümünün olmasıiçin gerek
ve yeter ¸sart d = (k, φ (n)) olmak üzere
a φ(n)
d ≡ 1 (mod n)
olmasıdır. E˘ger çözüm varsa, tam olarak (mod n)’de d tanedir.
Kanıt. r sayısı, n’nin bir ilkel kökü olmak üzere, indeks yardımıyla, a φ(n)
d ≡
1 (mod n) kongrüansı
indra φ(n)
d = indr1 = 0