Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 13. TAMSAYILARIN KARE TOPLAMLARI OLARAK GÖSTERIMLERI71
e¸sitli˘ginden ac − bd = 0 olur. Bu durumda
ad − bc = 0 veya ac − bd = 0
olmalıdır. ad = bc oldu˘gunu varsayalım. a | bc ve (a, b) = 1 oldu˘gundan a | c
olur. Yani c = ak, k ∈ Z yazılabilir. ad = bc = bka e¸sitli˘ginden d = kb elde
edilir. Fakat
p = c 2 + d 2 = (ak) 2 + (kb) 2 = k 2 a 2 + b 2
= k 2 p
e¸sitli˘gi k = 1 olmasını gerektirir. Bu durumda c = a ve d = b olur. Benzer
¸sekilde ac = bd olmasıda a = d ve b = c olmasınıgerektirir ki her iki durumda
da p asalının iki kare toplamı¸seklindeki gösterimi tek türlü olur.
için
Teorem 13.2.4’ü kullanarak p = 13 asalınıiki kare toplamı¸seklinde yazalım.
a 2 ≡ −1 (mod p)
p − 1
a = !
2
bir çözümdür. p = 13 için a = 6! = 720 olur.
kongrüansının çözümünü bulalım.
S =
ax ≡ y (mod p)
720x ≡ y (mod p)
5x ≡ y (mod p)
5x − y : 0 ≤ x, y ≤ k − 1 =
p − 1 = 3
S = {0, −1, −2, −3, 5, 4, 3, 2, 10, 9, 8, 7, 15, 14, 13, 12}
−3 ≡ 10
=5.0−3 =5.2−0
(mod 13)
Burada x1 = 0, y1 = 3 ve x2 = 2, y2 = 0 olur. Dolayısıyla
elde edilir. Buradan p = 13 asalı
x0 = x2 − x1 = 2
y0 = y2 − y1 = −3
13 = x 2 0 + y 2 0 = 3 2 + 4 2
¸seklinde iki kare toplamı¸seklinde yazılabilir.
¸Simdi de hangi tipteki sayıların herzaman iki kare toplamı¸seklinde yazılabilece˘gini
görelim.