You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
BÖLÜM 13. TAMSAYILARIN KARE TOPLAMLARI OLARAK GÖSTERIMLERI72<br />
Teorem 13.2.6. n pozitif bir tamsayı, m = p1 . . . pl olmak üzere n = N 2 m<br />
sayısının iki kare toplamı ¸seklinde yazılabilmesi için gerek ve yeter ¸sart m<br />
sayısının 4k + 3 formunda bir asal çarpan içermemesidir.<br />
Kanıt. ⇐=: m sayısının 4k + 3 formunda hiç bir asalı olmasın. m = 1 ise<br />
n = N 2 + 0 2 ¸seklinde iki kare toplamı¸seklinde yazılabilir. m > 1 ise pi asalı<br />
ya 2 dir ya da 4k + 1 formundadır. Dolayısıyla pi asallarıiki kare toplamı¸seklinde<br />
yazılabilirler ve bunların çarpımıolan m sayısıda iki kare toplamı¸seklinde<br />
yazılabilir. Yani<br />
m = x 2 + y 2<br />
olacak ¸sekilde x, y tamsayılarıvardır.<br />
n = N 2 m = N 2 (x 2 + y 2 )<br />
= N 2 x 2 + N 2 y 2<br />
= (Nx) 2 + (Ny) 2<br />
e¸sitli˘ginden n sayısınında iki kare toplamı¸seklinde yazılabilece˘gi gösterilmi¸s olur.<br />
⇒: n sayısıiki kare toplamı¸seklinde yazılabilsin. Yani<br />
n = a 2 + b 2<br />
olacak ¸sekilde a, b tamsayılarıvarolsun. m > 1 için p m’yi bölen tek asal sayı<br />
olmak üzere p sayısının 4k + 1 formunda oldu˘gunu gösterelim. (a, b) = d ise<br />
a = rd, b = sd ve (r, s) = 1 olacak ¸sekilde r, s tamsayılarıvardır ve<br />
yazılabilir.<br />
oldu˘gundan<br />
N 2 m = a 2 + b 2 = r 2 d 2 + s 2 d 2<br />
= d 2 r 2 + s 2<br />
d 2 ∤ m = p1 . . . pl<br />
d 2 | N 2<br />
elde edilir. p | m oldu˘gundan bir t tamsayısıiçin<br />
r 2 + s 2 2 N<br />
=<br />
d2 <br />
m = tp<br />
yazılabilir ve<br />
r 2 + s 2 ≡ 0 (mod p) (13.1)<br />
elde edilir. Bu denklikten ve (r, s) = 1 ¸sartından p asalır veya s sayılarından<br />
en az biri ile aralarında asaldır ve bu sayır olsun. Dolayısıyla<br />
r ′ r ≡ 1 (mod p)
Change language