Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 13. TAMSAYILARIN KARE TOPLAMLARI OLARAK GÖSTERIMLERI73
olacak ¸sekilde bir r ′ sayısıvardır. (13.1)’i (r ′ ) 2 ile çarpalım ;
(r ′ ) 2 r 2 + s 2 ≡ 0 (mod p)
(r ′ ) 2 r 2 + (r ′ ) 2 s 2 ≡ 0 (mod p)
(r ′ r) 2 + (r ′ s) 2 ≡ 0 (mod p)
1 + (r ′ s) 2 ≡ 0 (mod p)
(r ′ s) 2 ≡ −1 (mod p)
Bu denklik, (−1/p) = 1 anlamına gelir. Dolayısyla Teorem 9.2.4’den p = 4k + 1
formundadır.
Sonuç 13.2.7. Pozitif bir n tamsayısının iki kare toplamı¸seklinde yazılabilmesi
için gerek ve yeter ¸sart 4k + 3 formundaki asal çarpanların kuvvetlerinin çift
olmasıdır.
Örnek 13.2.8. 459 = 3 3 17 sayısıiki kare toplamı¸seklinde yazılamaz çünkü 3
asalı4k + 3 formunda ve kuvveti tektir. Fakat 153 = 3 2 17 asalıiki kare toplamı
¸seklinde yazılabilir.
153 = 3 2 17 = 3 2 4 2 + 1 2
= 3 2 4 2 + 3 2 1 2
= (3.4) 2 + (3.1) 2
= 12 2 + 3 2
Örnek 13.2.9. n = 7 2 .5.13.17 sayısıiki kare toplamı¸seklinde yazılabilir.
5 = 2 2 + 1 2
13 = 3 2 + 2 2
17 = 4 2 + 1 2
Önce a 2 + b 2 c 2 + d 2 = (ac + bd) 2 + (ad − bc) 2 .
e¸sitli˘gi yardımıyla 5.13 için
5.13 = 2 2 + 1 2 3 2 + 2 2 = (6 + 2) 2 + (4 − 3) 2
= 8 2 + 1 2
elde edilir. Yine aynıe¸sitlikten (5.13) .17 için
(5.13) .17 = 8 2 + 1 2 4 2 + 1 2 = (32 + 1) 2 + (8 − 4) 2
elde edilir. Son olarak
elde edilir.
= 33 2 + 4 2
n = 7 2 .5.13.17 = 7 2 33 2 + 4 2
= 7 2 33 2 + 7 2 4 2
= (7.33) 2 + (7.4) 2