Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 12. BAZI LINEER OLMAYAN DIOPHANTINE DENKLEMLER61
Böylece bir (x, y, z) ilkel Pisagor üçlüsü verildi˘ginde x sayısını çift ve y
sayısınıda tek olarak dü¸sünebiliriz.
Ayrıca (x, y, z) ilkel Pisagor üçlüsü için (x, y) = (x, z) = (y, z) = 1 dir.
Gerçekten (x, y) = d > 1 olsaydıp | x ve p | y olacak ¸sekilde bir p asal sayısıvar
olurdu. Buradan p | x 2 + y 2 = z 2 ve p | z elde edilirdi ki bu da (x, y, z) = 1
olmasıyla çeli¸sirdi. Benzer ¸sekilde (x, z) = (y, z) = 1 oldu˘gu da gösterilebilir.
Yardımcı Teorem 12.1.3. ab = c n , (a, b) = 1 ise a = a n 1 ve b = b n 1 olacak
¸sekilde a1, b1 tamsayılarıvardır.
Kanıt. a > 1 ve b > 1 sayılarının asal çarpanlara ayrılı¸sı
a = p k1
1
. . . pkr r ve b = q j1
1 . . . qjs s
olsun. (a, b) = 1 oldu˘gundan pi ve qi sayılarıfarklıasallardır. Bu durumda ab
sayısının asal çarpanlara ayrılı¸sı
¸seklinde olur.
ab = p k1
1
. . . pkr r q j1
1 . . . qjs s
c = u l1
1
. . . ult t
c sayısının asal çarpanlara ayrılı¸sıolmak üzere ab = c n e¸sitli˘gi
p k1
1
. . . pkr r q j1
1 . . . qjs r = u nl1
1 . . . u nlt
t
halini alır. Burada u1, . . . ut asallarısıradan ba˘gımsız olarak p1, . . . , pr, q1, . . . qr
asalları, nl1, . . . , nlt sayıları da k1, . . . , kr, j1, . . . , js sayılarıdır. Sonuç olarak
ki, ji sayıların ile bölünebilen sayılardır.
a1 = p k1/n
1 . . . p kr/n
r
b1 = q j1/n
1 . . . q js/n
s
olmak üzere a = a n 1 ve b = b n 1 yazılabilir.
Teorem 12.1.4. (x, y, z) = 1, 2 | x, x, y, z > 0 olmak üzere
x 2 + y 2 = z 2
Pisagor denkleminin tüm çözümleri s > t > 0, (s, t) = 1 ve s = t (mod 2) olmak
üzere
x = 2st, y = s 2 − t 2 , z = s 2 + t 2
¸seklindedir.
Kanıt. (x, y, z) ilkel Pisagor üçlüsü olsun. Bu durumda x çift ve y, z tek
sayılardır. z − y ve z + y sayılarıda çifttir. Dolayısıyla z − y = 2u ve z + y = 2v
olacak ¸sekilde u, v tamsayılarıvardır.
x
2 =
2
z2 − y2 =
4
(z − y) (z + y)
4
z − y z + y
=
= uv
2 2