Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 8. ˙ILKEL KÖKLER VE ˙INDEKSLER 13
8.3 ˙Ilkel Köke Sahip Olan Birle¸sik Sayılar
Daha önceden 2 sayısının 9 için ilkel kök oldu˘gunu söylemi¸stir. Dolayısıyla birle¸sik
sayılar da ilkel köklere sahip olabilirler. Bu kısımda hangi formdaki birle¸sik
sayıların ilkel köklere sahip oldu˘gunu belirleyece˘giz. Önce ilkel köke sahip olmayan
birle¸sik sayılarıgösteren teoremlerle ba¸slayalım.
Teorem 8.3.1. k ≥ 3 için 2 k tam sayısının ilkel kökü yoktur.
Kanıt. k ≥ 3 olsun. 2 k ile aralarında asal olan sayılar tek sayılar oldu˘gundan
incelememizi sadece tek sayılar için yapaca˘gız. 2 k tam sayısının ilkel kökü olmadı˘gınıgöstermek
için, her a ∈ Z + tek sayısıiçin
ve
t < φ 2 k = 2 k − 2 k−1 = 2 k−1
a t ≡ 1 mod 2 k
olacak ¸sekildeki bir t sayısı oldu˘gunu göstermemiz yeterlidir. t = 2k−2 için bu
durumun sa˘glandı˘gınıtümevarım yöntemini kullanarak gösterelim.
k = 3 için; 23 = 8 olur. 12 ≡ 1 (mod 8) , 32 ≡ 1 (mod 8) , 52 ≡ 1 (mod 8) ve
72 ≡ 1 (mod 8) oldu˘gundan a2 ≡ 1 (mod 8) do˘grudur.
k = n için;
a 2n−2
≡ 1 (mod 2 n ) (8.5)
do˘gru olsun.
k = n + 1 için;
a 2n−1
≡ 1 mod 2 n+1
do˘gru oldu˘gunu gösterelim. (8.5) kongrüansı, b ∈ Z olmak üzere
a 2n−2
= 1 + b2 n
e¸sitli˘gine denktir. Bu e¸sitli˘gin her iki tarafının karesini alalım.
a 2n−2 2
a 2n−1
= (1 + b2 n ) 2
= 1 + 2b2 n + b 2 (2 n ) 2 = 1 + b2 n+1 + b 2 2 2n
= 1 + 2 n+1 b + b 2 2 n−1
≡ 1 mod 2 n+1
oldu˘gundan önermemiz do˘grudur.
Teorem 8.3.2. m > 2, n > 2 ve (m, n) = 1 ise mn sayısının ilkel kökü yoktur.
Kanıt. (a, mn) = 1 olacak ¸sekilde a sayılarınıele alalım. Bu durumda (a, n) = 1
ve (a, m) = 1 olur. h = [φ (n) , φ (m)] ve d = (φ (n) , φ (m)) olsun. m > 2, n > 2