Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 8. ˙ILKEL KÖKLER VE ˙INDEKSLER 7
8.2 Asal Sayıların ˙Ilkel Kökleri
˙Ilkel kökler teorik ara¸stırmalarda önemli rol oynamaktadır. Dolayısıyla hangi
sayıların ilkel köklere sahip oldu˘gu sorusu akla gelir. Bu kısımda tüm asal sayılar
için ilkel köklerin varoldu˘gunu gösterece˘giz. Önce bu kısımda kullanaca˘gımız,
Lagrange’nin polinom kongrüansların çözüm sayısıyla ilgi teoremini verelim.
Teorem 8.2.1 (Lagrange). p asal sayıve an = 0 (mod p) olmak üzere
f (x) = anx n + an−1x n−1 + · · · + a1x + a0
tamsayıkatsayılın. dereceden (n ≥ 1) bir polinom olsun. Bu durumda
f (x) ≡ 0 (mod p)
kongrüansı, (mod p)’de kongrüant olmayan en fazla n tane çözüme sahiptir.
Kanıt. n üzerinden tümevarımla yapalım.
n = 1 için polinom
f (x) = a1x + a0
formundadır. (a1, p) = 1 oldu˘gundan a1x ≡ −a0 (mod p) kongrüansı tek bir
çözüme sahiptir. Böylece teorem n = 1 için sa˘glanır.
n = k − 1 için teoremin sa˘glandı˘gınıvarsayalım.
n = k olsun. Yani f (x) k. dereceden bir polinom olsun. f (x) ≡ 0 (mod p) kongrüansının
ya çözümü olmasın (bu durumda ispat biter) yada en az bir çözümü
olsun ve bu çözüm a olsun. f (x) polinomunu x − a ile bölelim. q (x) , (k − 1) .
dereceden bir polinom ve r bir tam sayıolmak üzere
yazılabilir. x = a için
oldu˘gundan
f (x) = (x − a) q (x) + r
0 ≡ f (a) ≡ (a − a) q (a) + r ≡ r (mod p)
f (x) ≡ (x − a) q (x) (mod p)
elde edilir. b, f (x) = 0 (mod p) kongrüansının a ile (mod p)’de kongrüant olmayan
yani b − a = 0 (mod p) ¸sartınısa˘glayan ba¸ska bir çözüm ise
0 ≡ f (b) ≡ (b − a) q (b) (mod p)
olur ve b − a = 0 (mod p) oldu˘gundan q (b) ≡ 0 (mod p) olur. Yani f (x) ≡
0 (mod p) kongrüansının a’dan ba¸ska her çözümü q (x) ≡ 0 (mod p) kongrüansının
çözümüdür. q (x) polinomu (k − 1) . dereceden bir polinom oldu˘gundan
tümevarımın varsayımından dolayıq (x) ≡ 0 (mod p) kongrüansıen fazla k − 1
tane kongrüant olmayan çözüme sahiptir ve dolayısıyla f (x) ≡ 0 (mod p) kongrüansıen
fazla k tane kongrüant olmayan çözüme sahiptir.