Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 15. SÜREKLI KESIRLER 86
¸Simdi (a, b) = 1 olmak üzere
ax + by = c (15.1)
denklemin çözümünü sonlu sürekli basit kesirler yardımıyla çözelim. Öncelikle
ax + by = 1 (15.2)
denkleminin çözümlerini bulaca˘gız. a/b rasyonel sayısıiçin
a
b = [a0; a1, . . . , an]
sonlu basit sürekli kesir gösterimi ve 1 ≤ k ≤ n için
yakla¸sımlarıvardır.
Ck = pk
qk
Cn−1 = pn−1
, Cn =
qn−1
pn
=
qn
a
b
yakla¸sımlarınıele alalım. (pn, qn) = (a, b) = 1 oldu˘gundan pn = a ve qn = b elde
edilir. Teorem 15.2.9 yardımıyla
yazabiliriz. n tek ise
olaca˘gından
pnqn−1 − qnpn−1 = (−1) n−1
aqn−1 − bpn−1 = (−1) n−1
aqn−1 − bpn−1 = 1
a (qn−1) + b (−pn−1) = 1
x0 = qn−1, y0 = −pn−1
de˘gerleri (15.2) denkleminin bir çözümüdür.
n çift ise
olaca˘gından
aqn−1 − bpn−1 = −1
−aqn−1 + bpn−1 = 1
a (−qn−1) + b (pn−1) = 1
x0 = −qn−1, y0 = pn−1
de˘gerleri (15.2) denkleminin bir çözümüdür.
Dolayısıyla
cx0, cy0
de˘gerleri de (15.2) denkleminin bir çözümüdür.