Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 8. ˙ILKEL KÖKLER VE ˙INDEKSLER 10
Dolayısıyla her p asalıve d|φ (p) = p − 1 olacak ¸sekildeki her d sayısıiçin,
(mod p)’de mertebesi d olan sayılar var ve φ (d) tanedir.
Teorem 8.2.3’te d = p−1 alınırsa, her p asal sayısının ilkel köke sahip oldu˘gu
görülür.
Sonuç 8.2.4. p bir asal sayıise p sayısının φ (p − 1) tane kongrüant olmayan
ilkel kökü vardır.
p = 13 için bu durumu örneklendirelim. 1 ≤ k ≤ 12 sayıları için k’nın
(mod p)’ye göre mertebelerinin
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
mertebe 1 12 3 6 4 12 12 4 3 6 12 2
oldu˘gunu daha önceden göstermi¸stik ( Örnek 8.1.7 ). p − 1 sayısının bölenleri
1, 2, 3, 4, 6, 12 dir. Dolayısıyla mertebesi 1 olan sayıların sayısı φ (1) = 1,
mertebesi 2 olan sayıların sayısı φ (2) = 1, mertebesi 3 olan sayıların sayısı
φ (3) = 2, mertebesi 4 olan sayıların sayısıφ (4) = 2, mertebesi 6 olan sayıların
sayısıφ (6) = 2 ve mertebesi 12 olan sayıların sayısıφ (12) = 4 tür. Gerçekten
bu sayıların do˘gru oldu˘gu tablodan da görülmektedir.
¸Simdi son Teorem 8.2.3’yıkullanarak, 4k +1 formundaki bir p asal sayısıiçin
x 2 ≡ −1 (mod p) kongrüansının bir çözüme sahip oldu˘gunu gösterelim. 4| (p − 1)
oldu˘gundan Teorem 8.2.3 dan (mod p)’de mertebesi 4 olan yani a 4 ≡ 1 (mod p)
veya denk olarak a 2 − 1 a 2 + 1 ≡ 0 (mod p) olan bir a tamsayısı vardır.
p asal oldu˘gundan a 2 − 1 ≡ 0 (mod p) veya a 2 + 1 ≡ 0 (mod p) olmalıdır.
a 2 − 1 ≡ 0 (mod p) olması, a sayısının (mod p)’de mertebesinin 4 olması ile
çeli¸sece˘ginden, a 2 + 1 ≡ 0 (mod p) olmalıdır. Yani x 2 ≡ −1 (mod p) kongrüansı
bir çözüme sahiptir.
Böylelikle asal sayıların ilkel köklere sahip oldu˘gunu ve bir ilkel kökü
bilindi˘ginde di˘ger ilkel köklerinde bulunabilece˘gini biliyoruz. A¸sa˘gıdaki tabloda
200’e kadar olan asal sayılar ve bu sayıların en küçük ilkel kökleri verilmi¸stir.