Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
BÖLÜM 8. ˙ILKEL KÖKLER VE ˙INDEKSLER 17<br />
Sonuç olarak p tek asal sayıolmak üzere r, r p−1 = 1 mod p 2 olacak ¸sekildeki<br />
p’nin bir ilkel kökü ise bu r sayısıayrıca p k , k ≥ 2 sayılarıiçinde bir ilkel<br />
köktür.<br />
3 sayısı7 asalıiçin bir ilkel köktü ve 3 6 ≡ 43 = 1 mod 7 2 idi. Dolayısıyla<br />
3 sayısı7 k , k ≥ 2 sayılarıiçinde ilkel köktür. k = 3 için inceleyelim : φ 7 3 =<br />
7 2 .6 = 294 ve bu sayının bölenleri 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42, 49, 98, 147, 294 için<br />
3 1 ≡ 3, 3 2 ≡ 9, 3 3 ≡ 27, 3 6 ≡ 43, 3 7 ≡ 129, 3 14 ≡ 177 mod 7 3<br />
3 21 ≡ 195, 3 42 ≡ 295, 3 49 ≡ 325, 3 98 ≡ 324, 3 147 ≡ 342, 3 294 ≡ 1 mod 7 3<br />
oldu˘gundan 3, 7 3 için ilkel köktür.<br />
¸Simdi de p tek asal sayıolmak üzere 2p k ¸seklindeki sayıların ilkel köklerinin<br />
var oldu˘gunu gösterelim.<br />
Sonuç 8.3.8. k ≥ 1 ve p tek asal sayı olmak üzere 2p k sayısının ilkel kökü<br />
vardır.<br />
Kanıt. r sayısı, p k ’nın bir ilkel kökü ve r tek sayıolsun (r çift ise r + p sayısı<br />
alınır). Bu r sayısının ayrıca 2p k sayısının da ilkel kökü oldu˘gunu yani r sayısının<br />
mod 2p k ’ya göre mertebesi n olmak üzere n = φ 2p k = φ (2) φ p k = φ p k<br />
oldu˘gunu gösterelim. r sayısının mod 2p k ’ya göre mertebesi n oldu˘gundan<br />
n|φ 2p k = φ p k<br />
(8.12)<br />
olur. Ayrıca r n ≡ 1 mod 2p k kongrüansır n ≡ 1 mod p k kongrüansınıgerektirir<br />
(r n ≡ 1 mod 2p k ⇒ 2p k | (r n − 1) ∧ p k |2p k ⇒ p k | (r n − 1) ⇒ r n ≡<br />
1 mod p k ). Buradan r sayısıp asalının ilkel kökü oldu˘gundan<br />
olur. (8.12) ve (8.13) den n = φ 2p k elde edilir.<br />
φ p k = φ 2p k |n (8.13)<br />
Teoremin ispatından da anla¸sılaca˘gı üzere, p tek asal sayı olmak üzere r,<br />
r p−1 = 1 mod p 2 olacak ¸sekildeki p’nin r ilkel kökü tek ise bu r sayısıayrıca<br />
2p k , k ≥ 2 sayılarıiçinde bir ilkel köktür. 3 sayısı7 asalıiçin bir ilkel kök, 3<br />
tek sayıve 3 6 ≡ 43 = 1 mod 7 2 oldu˘gundan 3 sayısı2.7 k , k ≥ 2 sayılarıiçinde<br />
ilkel köktür<br />
A¸sa˘gıdaki teoremde, ¸simdiye kadar elde etti˘gimiz bilgileri özetliyoruz.<br />
Teorem 8.3.9. n > 1 tamsayısının ilkel kökünün olmasıiçin gerek ve yeter ¸sart<br />
n sayısının, p tek asal sayıolmak üzere<br />
formunda olmasıdır.<br />
2, 4, p k veya 2p k
Change language