Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 11. ÖZEL FORMDAKI SAYILAR 47
elde edilir yani M | σ (m) dir. M|m ve m|m oldu˘gundan
2 k M = σ (m) ≥ m + M = 2 k − 1 M + M = 2 k M
σ (m) = m + M
olur. Bu ise m sayısının sadece iki tane pozitif böleni oldu˘gunu gösterir. Yani
M = 1 ve dolayısıyla m = 2 k − 1 olur.
Bu teorem, çift olan mükemmel sayılarıbulmak için, 2 k − 1 formundaki asal
sayılarıbulmanın yeterli oldu˘gunu gösterir. Dolayısıyla bu formdaki asal sayıları
incelemek anlamlıdır.
YardımcıTeorem 11.2.3. a k −1 sayısıasal ise a = 2 dir ve k sayısıda asaldır.
Kanıt. a k − 1 sayısı
a k − 1 = (a − 1) a k−1 + a k−2 + · · · + a + 1
¸seklinde yazılabilir. Bu sayıasal oldu˘gundan iki çarpandan biri 1 olmalıdır.
a k−1 + a k−2 + · · · + a + 1 ≥ a + 1 > 1
dolayıa − 1 = 1 dir yani a = 2 dir.
¸Simdi de k sayısının asal oldu˘gunu olmayana ergi yöntemi ile gösterelim. k sayısı
birle¸sik sayıolsun. k = rs olacak ¸sekilde r > 1, s > 1 sayılarıvardır ve
a k − 1 = (a r ) s − 1 = (a r
− 1) (a r ) s−1 + (a r ) s−2 + · · · + a r
+ 1
yazılabilir. Sa˘g taraftaki iki çarpanda birden büyük oldu˘gundan bu durum a k −1
sayısının asal olmasıile çeli¸sir. Dolayısıyla k asal sayıdır.
2, 3, 5, 7 asal sayıları için 2 2 − 1, 2 3 − 1, 2 5 − 1, 2 7 − 1 sayılarıda asaldır.
Dolayısıyla
2 2 2 − 1 = 6
2 2 2 3 − 1 = 28
2 4 2 5 − 1 = 496
2 6 2 7 − 1 = 8128
sayılarımükemmel sayıdır.
Bu teoremden sonra akla her p asal sayısıiçin 2 p − 1 asal olur mu sorusu
gelmektedir. E˘ger öyle olsaydı çift mükemmel sayıların sonsuz tane oldu˘guda
gösterilmi¸s olurdu. Fakat 1536 yılında Hudalrichus Regius 2 11 − 1 sayısını
2 11 − 1 = 2047 = 23.89
¸seklinde çarpanlara ayırarak tersi durumun geçerli olmadı˘gınıgöstermi¸stir. ˙Ilk
ba¸sta bu hesaplamayıyapmak küçük bir ba¸sarıymı¸s gibi dü¸sünülebilir fakat o