Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 9. KUADRATIK KAR¸SILIK KURALI 30
elde edilir. Euler kriterinden
olur ki bu da
oldu˘gunu gerektirir.
(a/p) ≡ a p−1
2 ≡ (−1) n (mod p)
(a/p) = (−1) n
Bu durumu örneklendirelim. p = 13 ve a = 5 olsun. (p − 1) /2 = 6 oldu˘gundan
S kümemiz
S = {1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5, 6.5}
olur.(mod 13)’e göre S kümesi
5, 10, 2, 7, 12, 4
halini alır. 13/2’den büyük olan sayıların sayısı3’tür. Böylece Gauss yardımcı
teoreminden
(5/13) = (−1) 3 = −1
elde edilir.
A¸sa˘gıdaki teorem Gauss yardımcıteoremi yardımıyla, 2 sayısının kuadratik
kalan oldu˘gu asal sayılarıbelirlememizi sa˘glar.
Teorem 9.2.10. p tek asal sayıise,
1 , p ≡ 1 (mod 8) veya p ≡ 7 (mod 8)
(2/p) =
−1 , p ≡ 3 (mod 8) veya p ≡ 5 (mod 8).
Kanıt. Gauss yardımcıteoreminden,
p − 1
S = 1.2, 2.2, 3.2, . . . , .2
2
kümesindeki sayılardan, p’ye bölündü˘günde kalanıp/2 den büyük olan sayıların
sayısın olmak üzere, (2/p) = (−1) n olur. S kümesinin elemanlarıp’den küçük
olduklarından n sayısınıbulmak için p/2’den büyük sayılarısaymak yeterlidir.
1 ≤ k ≤ (p − 1) /2 için 2k ≤ p/2 ancak ve ancak k ≤ p/4. Bu durumda S
kümesinde p/2’den küçük ⌊p/4⌋ tane sayı vardır. Dolayısıyla p/2 den büyük
sayıların sayısı
p − 1
n =
2 −
p
4
olur. p tek asal sayı oldu˘gundan p sayısı, 8k + 1, 8k + 3, 8k + 5 veya 8k + 7
formundadır.
p = 8k + 1 formunda ise n = 4k − 2k + 1
= 4k − 2k = 2k
4
p = 8k + 3 formunda ise n = 4k + 1 − 2k + 3
= 4k + 1 − 2k = 2k + 1
4
p = 8k + 5 formunda ise n = 4k + 2 − 2k + 5
= 4k + 2 − (2k − 1) = 2k + 1
4
p = 8k + 7 formunda ise n = 4k + 3 − 2k + 7
= 4k + 3 − (2k − 1) = 2k + 2
4