Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 9. KUADRATIK KAR¸SILIK KURALI 39
9.4 Birle¸sik Modüllere Göre Kuadratik Kongrüanslar
¸Simdiye kadar tek olan asal sayıların kuadratik kalanları ile ilgili teoremler
verdik. Bu kısımda birle¸sik sayıların kuadratik kalanlarınıinceleyece˘giz. p tek
asal sayıolmak üzere p k sayısının kuadratik kalana sahip olmasıiçin gerek ve
yeter ¸sartıveren a¸sa˘gıdaki teoremle ba¸slayalım.
Teorem 9.4.1. p tek asal sayısıve (a, p) = 1 olacak ¸sekilde a tamsayısıverilsin.
Bu takdirde
x 2 ≡ a (mod p n ) n ≥ 1
kuadratik kongrüansının çözümünün olmasıiçin gerek ve yeter ¸sart (a/p) = 1
olmasıdır.
Kanıt. x 2 ≡ a (mod p n ) kongrüansının çözümü var olsun. p|p n oldu˘gundan
x 2 ≡ a (mod p) kongrüansınında çözümü vardır ve bu durumda (a/p) = 1 dir.
Di˘ger taraftan (a/p) = 1 olsun. x 2 ≡ a (mod p n ) kongrüansının çözümünün var
oldu˘gunu göstermek için n üzerinden tümevarım yapalım.
n = 1 için x 2 ≡ a (mod p) kongrüansının çözümü vardır.
n = k için x 2 ≡ a mod p k kongrüansının çözümü var ve bu çözüm x0 olsun.
n = k + 1 için x 2 ≡ a mod p k+1 kongrüansının çözümünün var oldu˘gunu
gösterelim. x 2 0 ≡ a mod p k oldu˘gundan x 2 0 = a + bp k olacak ¸sekilde bir b ∈ Z
vardır. ¸Simdi
2x0y ≡ −b (mod p)
lineer kongrüansınıele alalım. (2x0, p) = 1 oldu˘gundan bu lineer kongrüansının
çözümü vardır ve bu çözüm y0 olsun (yani p| (b + 2x0y0)). ¸Simdi de
x1 = x0 + y0p k
tamsayısınıele alalım. Bu sayının karesi
x 2 1 = x0 + y0p k2 = x 2 0 + 2x0y0p k + y 2 0p 2k
= a + bp k + 2x0y0p k + y 2 0p 2k
= a + (b + 2x0y0) p k + y 2 0p 2k
için, p| (b + 2x0y0) ve p k+1 |y 2 0p 2k oldu˘gundan
x 2 1 ≡ a mod p k+1
elde edilir ve böylece n = k + 1 için x 2 ≡ a mod p k+1 kongrüansının
çözümünün var oldu˘gu gösterilmi¸s olur.
Teoremin ispatından anla¸sılaca˘gı üzere x 2 ≡ a (mod p n ) kongrüansının
çözümüne ula¸smak için önce x 2 ≡ a (mod p) kongrüansı çözülür. Daha sonra
teoremin ispatında izah edilen ¸sekilde bu çözüm yardımıyla x 2 ≡ a mod p 2