Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 11. ÖZEL FORMDAKI SAYILAR 57
Bugün hala sonsuz tane Fermat asalının varolup olmadı˘gıbilinmemektedir.
Hatta F4 ten büyük Fermat sayılarının birle¸sik sayıoldu˘gu tahmin edilmektedir.
Cetvel ve gönye ile çizilebilecek düzgün çokgenlerin belirlenmesi çok eski bir
problemdir. Gauss "Disquisitiones Arithmeticae" adlıeserinin son bölümünde
Fermat asallarıile bu problem arasında ¸söyle bir ili¸ski kurmu¸stur :
n kenarlıdüzgün bir çokgenin, cetvel ve gönye ile çizile bilmesi için gerek ve
yeter ¸sart k ≥ 0 ve p1, p2, . . . , pr farklıFermat asallarıolmak üzere
¸seklinde olmasıdır.
n = 2 k veya n = 2 k p1p2 . . . pr
Teorem 11.4.3. m > n ≥ 0 için (Fm, Fn) = 1 dir.
Kanıt. d = (Fm, Fn) olsun. Fermat sayılarıtek sayıolduklarından d sayısıda
tek sayıdır. x = 22n ve k = 2m−n olmak üzere
Fm − 2
Fn
=
2 2 n m−n
2
− 1
22n + 1
= xk − 1
x + 1 = xk−1 − x k−2 + · · · − 1
e¸sitli˘ginden dolayıFn | (Fm − 2) dir. d | Fn oldu˘gundan d | (Fm − 2) dir Ayrıca
d | Fm olmasıd | 2 gerektirir. d tek sayıoldu˘gundan d = 1 elde edilir.
Bu teorem asal sayıların sonsuz tane oldu˘gunun ispatında da kullanılabilir
:Fn Fermat sayısınıbölen en az bir asal sayıvardır. Yukarıdaki teorem farklı
Fermat sayıları aralarında asal oldu˘gunu söyler. Dolayısıyla her Fn sayısının
bölen farklı bir asal sayı vardır. Fermat sayıları sonsuz tane oldu˘gundan asal
sayılarda sonsuz tanedir.
1877 yılında , Cizvit papaz T.Pepin, Fermat sayılarının asallı˘gının tespiti
için bir test bulmu¸stur.
Teorem 11.4.4 (Pepin Testi). n ≥ 1 için Fn = 22n + 1 Fermat sayısının asal
olmasıiçin gerek ve yeter ¸sart
olmasıdır.
3 (Fn−1)
2 ≡ −1 (mod Fn)
Kanıt. 3 (Fn−1)
2 ≡ −1 (mod Fn) olsun. p | Fn olan p asal sayısıiçin de
sa˘glanır. Her iki tarafın karesini alalım;
3 (Fn−1)
2 ≡ 1 (mod p) .
3 (Fn−1) ≡ 1 (mod p)
3 22n
≡ 1 (mod p) .