Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 9. KUADRATIK KAR¸SILIK KURALI 23
için p ∤ d ko¸sulunu koyalım. y ≡ y0 (mod p), (9.4) kongrüansının çözümü ise y ≡
p − y0 (mod p) di˘ger çözümdür ve p − y0 ile y0 (mod p)’de kongrüant de˘gildirler.
(Gerçekten y0 ≡ p − y0 (mod p) ⇒ 2y0 ≡ 0 (mod p) ⇒ y0 ≡ 0 (mod p) çeli¸ski).
Lagrange teoreminden (9.4) kongrüansıen fazla iki çözüme sahip olaca˘gından,
bu kongrüans ya hiç çözüme sahip de˘gildir yada y ≡ y0 (mod p) çözüm ise
y ≡ p − y0 (mod p) de çözümdür.
Örne˘gin,
5x 2 − 6x + 2 ≡ 0 (mod 13)
kongrüansınıele alalım. Burada a = 5, b = −6, c = 13 tür. Bu kongrüans y =
2ax + b = 10x − 6 ve d = b 2 − 4ac = −4 ≡ 9 (mod 13) olmak üzere
y 2 ≡ 9 (mod 13)
kongrüansına denktir. Bu kongrüansın çözümleri y ≡ 3 (mod 13) ve y ≡
10 (mod 13) oldu˘gundan
10x − 6 ≡ 3 (mod 13) ve 10x − 6 ≡ 10 (mod 13)
10x ≡ 9 (mod 13) ve 10x ≡ 16 (mod 13)
x ≡ 10 (mod 13) ve x ≡ 12 (mod 13)
elde edilir.
Lineer kongrüans çözümlerini bildi˘gimizden, burada asıl mesele (a, p) = 1
olmak üzere x 2 ≡ a (mod p) formundaki kuadratik kongrüansların çözümünü
bulmaktır. ¸Simdi bu durumu incelemek için gerekli olan terminolojiyi verelim.
Tanım 9.1.1. p tek asal sayısı ve (a, p) = 1 olacak ¸sekilde a sayısı verilsin.
x 2 ≡ a (mod p) kuadratik kongrüansı bir çözüme sahipse, a sayısına, p’nin
kuadratik kalanı denir. E˘ger çözüm yoksa, a sayısına , p’nin kuadratik kalanı
de˘gildir denir.
a ve b sayıları(mod p)’ye göre denk iseler a sayısının p’nin kuadratik kalanı
olması için gerek ve yeter ¸sart b sayısının p’nin kuadratik kalanı olmasıdır.
Dolayısıyla p’nin kuadratik kalanlarını incelerken sadece p’den küçük olanlar
ile ilgelenece˘giz.
Örnek 9.1.2. p = 13 için kuadratik kalanlarıbulalım.
1 2 ≡ 1 (mod 13)
2 2 ≡ 4 (mod 13)
3 2 ≡ 9 (mod 13)
4 2 ≡ 3 (mod 13)
5 2 ≡ 12 (mod 13)
6 2 ≡ 10 (mod 13)
7 2 ≡ 10 (mod 13)
8 2 ≡ 12 (mod 13)
9 2 ≡ 3 (mod 13)
10 2 ≡ 9 (mod 13)
11 2 ≡ 4 (mod 13)
12 2 ≡ 1 (mod 13)