Indledende obligations - Syddansk Universitet

4.4 Nulkuponrenter og forwardrenter med ˚arlig rentetilskrivning 43
4.4 Nulkuponrenter og forwardrenter med ˚arlig rentetilskrivning
Traditionelt repræsenteres en diskonteringsfaktor med en rente. Givet prisen p˚a
en nulkuponobligation, der udløber p˚a tidspunkt t, er den relevante diskonterings-
rente mellem nu og tidspunkt t lig den effektive rente p˚a nulkuponobligationen.
Denne rente kaldes nulkuponrenten hørende til tidspunkt t. Lad y1(t) betegne
denne rente opgjort pro anno med ˚arlig rentetilskrivning. Der gælder da følgende
sammenhæng
(4.2) d(t) = (1 + y1(t)) −t ,
jfr. formel (3.8), eller
(4.3) y1(t) = d(t) −1/t − 1,
jfr. formel (3.9).
Nulkuponrenten som funktion af tiden kaldes for nulkuponrentestrukturen
eller bare rentestrukturen. Rentestrukturen kan f.eks. se ud som i Figur 4.2 p˚a
side 55. Bemærk, at forskellige rentetilskrivningsfrekvenser vil give forskellige rente-
strukturer, men har man lagt sig fast p˚a frekvensen vil der være en entydig sammen-
hæng mellem diskonteringsfunktionen og rentestrukturen. Diskonteringsfunktionen
og rentestrukturen indeholder dermed præcis den samme information repræsenteret
p˚a to forskellige m˚ader. Da obligationsmarkedets praksis er at opgøre renter som
˚arlige renter med ˚arlig rentetilskrivning er det typisk funktionen t ↦→ y1(t), der be-
tegnes som rentestrukturen, men en hvilken som helst anden tilskrivningsfrekvens
kan bruges. Især i den akademiske verden opgøres renter hyppigt ved kontinuert
rentetilskrivning, da dette ofte giver pænere matematiske udtryk. I Afsnit 4.6 ser vi
nærmere p˚a kontinuert tilskrevne nulkuponrenter.
En nulkuponrente udtrykker prisen p˚a et l˚an mellem i dag og et givet fremtidigt
tidspunkt. En forwardrente er en rente p˚a en i dag indg˚aet aftale om et l˚an mellem
to fremtidige tidspunkter med den egenskab, at nutidsværdien af denne aftale er nul. 3
S˚adanne aftaler kendes fra de finansielle markeder i form af FRA’er, jfr. Afsnit 2.1.
Lad os betragte en aftale om et l˚an, hvor l˚aneprovenuet udbetales om t perioder,
og der skal tilbagebetales en hovedstol p˚a H kroner om s perioder, hvor s > t.
3 Nulkuponrenter kaldes sommetider for spotrenter for at understrege, at de vedrører l˚an, der
begynder med det samme (spot-l˚an), i modsætning til forwardrenter.