Indledende obligations - Syddansk Universitet

4.7 Bestemmelse af rentestrukturen p˚a baggrund af observerede obligationspriser51
diskonteringsfaktorerne d(1),d(2),... ,d(M) skal opfylde ligningssystemet
⎛ ⎞ ⎛
⎞ ⎛ ⎞
(4.23)
P1 Y11
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜
⎜ P2 ⎟ ⎜ Y21
⎜ ⎟
⎜ ⎟ = ⎜
⎜
⎝
. ⎟ ⎜
⎠ ⎝
.
Y12
Y22
.
...
...
. ..
Y1M d(1)
⎟ ⎜ ⎟
⎟ ⎜ ⎟
Y2M ⎟ ⎜ d(2) ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎟ ⎜ ⎟ .
. ⎟ ⎜
⎠ ⎝
. ⎟
⎠
d(M)
PM
YM1 YM2 ... YMM
Betingelserne p˚a obligationerne skal sikre, at ydelsesmatricen i denne ligning er
invertibel.
Vi kan ogs˚a for hvert terminstidspunkt j = 1,... ,M konstruere en portefølje
af de M obligationer, der svarer til en nulkuponobligation, der giver 1 kr. p˚a tids-
punkt j. Lader vi xi(j) betegne det antal enheder af obligation i = 1,... ,M, der
indg˚ar i porteføljen svarende til nulkuponobligationen med udløb p˚a tidspunkt j,
skal der gælde
⎛ ⎞ ⎛
⎞ ⎛ ⎞
(4.24)
⎜
0 Y11 ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜
⎜
⎜0⎟
⎜ Y12 ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜
⎜
⎜.
⎟ ⎜
⎟ ⎜ .
⎜ ⎟ = ⎜
⎜
⎜1
⎟ ⎜
⎟ ⎜ Y1j
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜
⎜.
⎟ ⎜ .
⎝ ⎠ ⎝
Y21
Y22
.
Y2j
.
...
...
. ..
...
Yj1
Yj2
Yjj
...
...
...
. ..
YM1 ⎟ ⎜
x1(j)
⎟
⎟ ⎜ ⎟
YM2 ⎟ ⎜
⎟ ⎜ x2(j) ⎟
⎟ ⎜ ⎟
. ⎟ ⎜
⎟ ⎜ . ⎟
⎟ ⎜ ⎟,
⎟ ⎜
YMj ⎟ ⎜ xj(j)
⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎟ ⎜ ⎟
. ⎟ ⎜ . ⎟
⎠ ⎝ ⎠
0 Y1M Y2M ... YjM ... YMM xM(j)
hvor et-tallet p˚a venstre side af lighedstegnet st˚ar p˚a den j’te plads i vektoren. Der
vil naturligvis være følgende relation mellem løsningen (d(1),... ,d(M)) til (4.23) og
løsningen (x1(j),... ,xM(j)) til (4.24): 6
(4.25)
M
xi(j)Pi = d(j).
i=1
Man kan s˚aledes først bestemme de syntetiske nulkuponobligationer, dvs. løsningen
til (4.24) for enhver værdi af j = 1,... ,M, og dernæst bruge (4.25) til at beregne
diskonteringsfaktorerne.
Eksempel 4.4 I Eksempel 4.3 s˚a vi p˚a en to-˚arig 5% st˚aende obligation. Antag nu, at
der desuden findes en to-˚arig 8% serieobligation med de samme terminstidspunkter.
6 Med matrixnotation er P = Y d og ej = Y ⊤ x(j), hvor ej er vektoren p˚a venstre side af (4.24),
og de øvrige betegnelser burde være selvforklarende. Symbolet ⊤ angiver transponering. Derfor er
hvilket er ækvivalent med (4.25).
x(j) ⊤ P = x(j) ⊤ Y d = e ⊤
j d = d(j),