Indledende obligations - Syddansk Universitet

5.3 Macaulay-varighed for standardobligationer 67
1 − t ′ terminer, den anden ydelse 2 − t ′ terminer, osv. S˚a prisen p˚a valørdagen er
P =
n
j=1
Differentieres partielt med hensyn til y f˚as
∂P
∂y
= −
s˚a varigheden p˚a valørdagen er
(5.10)
n
j=1
Yj(1 + y) −(j−t′ ) .
(j − t ′ )Yj(1 + y) −(j−t′ )−1 ,
V = − ∂P 1 + y
∂y P
n j=1
=
(j − t′ )Yj(1 + y) −(j−t′ )
n =
=
j=1 Yj(1 + y) −(j−t′ )
n
j=1 (j − t′ )Yj(1 + y) −j
n
j=1 Yj(1 + y) −j
n
j=1 jYj(1 + y) −j
n
j=1 Yj(1 + y) −j − t′ .
Brøken i det sidste udtryk er netop varigheden, som den ville have været p˚a forrige
terminstidspunkt ved den samme effektive rente y. Brøken kan derfor regnes ud ved
hjælp af de tidligere angivne formler for varigheden p˚a et terminstidspunkt.
Traditionelt angives varigheden opgjort i et antal ˚ar. Ovenst˚aende formler for
varigheden giver derimod varigheden opgjort i et antal terminer. Antag der er m
terminer pr. ˚ar, og lad yterm være den effektive rente pr. termin. Den effektive rente
pr. ˚ar y˚ar er givet ved
1 + y˚ar = (1 + yterm) m .
Ifølge definitionen af varighed i formel (5.3) er varigheden i terminer
mens varigheden i ˚ar er
Vterm = − ∂P
∂y term
V˚ar = − ∂P
∂y ˚ar
Det kan da vises forholdsvist nemt, at
1 + yterm
,
P
1 + y˚ar
.
P
(5.11) V˚ar = 1
m Vterm.
Eksempel 5.2 Obligationen 5% S 2007 er en statslig serieobligation med to ˚arlige
terminer, den 15/3 og den 15/9. Sidste termin er den 15/9 2007. Fredag den 22/5