Indledende obligations - Syddansk Universitet

82 Investering i obligationer
5.7 Fisher-Weil m˚al for renterisiko
Som diskuteret i ovenst˚aende delafsnit er forudsætningerne for at bruge Macaulay-
m˚alene til sammenligning af forskellige obligationers eller porteføljers renterisiko
yderst problematiske. Derfor er det naturligvis af interesse at finde m˚al for renteri-
sikoen under mere realistiske forudsætninger. En knap s˚a restriktiv model er den,
hvor rentestrukturen kan antage en vilk˚arlig form, og ændringer sker i form af pro-
portionale skift, dvs. ∆y1(t) = δ(1 + y1(t)), hvor δ er en konstant. 7 Det relevante
varighedsm˚al i denne model er givet ved
ˆV =
tn
t ˆwt,
t=t1
hvor ˆwt = Yt(1+y1(t)) −t /P. Bemærk, at det er nulkuponrenterne, der indg˚ar i væg-
tene, og ikke obligationens effektive rente som i definitionen af Macaulays varighed
i (5.3). Varighedsm˚alet ˆ V blev ogs˚a introduceret af Macaulay (1938), men blev først
genstand for interesse efter, at Fisher og Weil (1971) viste hvorledes det kan anven-
des til immuniseringsform˚al. Det kaldes derfor ofte for Fisher-Weil varigheden.
Tilsvarende kan man definere en Fisher-Weil konveksitet som
ˆK =
tn
2
t + t ˆwt.
t=t1
For at vise at ˆ V og ˆ K er relevante m˚al for renterisikoen under de givne forudsæt-
ninger, tager vi udgangspunkt i sammenhængen mellem prisen P p˚a en obligation
og nulkuponrenterne y1(t):
P =
tn
Yt(1 + y1(t)) −t .
t=t1
Denne sammenhæng følger af (4.1) og (4.2). Obligationsprisen P er s˚aledes en funk-
tion af nulkuponrenterne y1(t1),y1(t2),... ,y1(tn). En anden ordens Taylorudvikling
7 Bemærk, at sm˚a proportionale skift i˚arligt tilskrevne nulkuponrenter svarer til parallelle skift i
de tilsvarende kontinuert tilskrevne nulkuponrenter. Sammenhængen mellem disse renter er nemlig
y∞(t) = ln(1 + y1(t)), hvilket medfører, at
∆y∞(t) ≈ dy∞(t) 1
∆y1(t) =
dy1(t) 1 + y1(t) ∆y1(t),
som er lig δ ifølge antagelsen. Ændringerne i de kontinuert tilskrevne nulkuponrenter er s˚aledes ens
for alle løbetider, hvilket netop svarer til en parallelforskydning.