Indledende obligations - Syddansk Universitet

84 Investering i obligationer
Forudsætningerne for Fisher-Weil m˚alene er imidlertid ogs˚a urealistiske. Det er mu-
ligt at konstruere en dynamisk rentestrukturmodel, hvor rentestrukturen ændrer sig
i form af disse proportionale skift, og hvor der ikke kan dannes arbitrageporteføljer
af obligationerne. I en s˚adan model skal den kontinuert tilskrevne rentestruktur have
formen
(5.30) y∞(t) = y∞(0) + At − Bt 2 ,
hvor y∞(0) angiver skæringspunktet med anden-aksen (dvs. den “ultra-korte” rente),
og A og B er konstanter med B > 0. Den kontinuert tilskrevne rentestruktur er
alts˚a en parabel med grenene nedad. 8 Dette synes umiddelbart overraskende, for
ogs˚a i denne model forekommer det fordelagtigt at maksimere konveksiteten p˚a
indbetalingssiden samtidigt med at holde varighederne ens. Følger man en s˚adan
strategi, vil man da ogs˚a f˚a en konveksitets-gevinst ved relativt store ændringer af
rentestrukturen. Men hvis rentestrukturen ikke ændrer sig, vil man derimod f˚a et
tab, som det vil fremg˚a af det følgende eksempel. En s˚adan strategi er derfor ikke
en arbitrage-mulighed.
Eksempel 5.7 Betragt igen situationen i Eksempel 5.6, hvor det ønskes at immu-
nisere en forpligtelse p˚a 1 million kroner til betaling om fire ˚ar med en portefølje af
et 3-˚arigt 8% st˚aende l˚an og et 6-˚arigt 4% st˚aende l˚an. Den aktuelle rentestruktur
antages at være p˚a formen (5.30) med A = 0.00125, B = 6.67 ·10 −5 og y∞(0) = 5%.
Denne rentestruktur er illustreret i Figur 5.2. I Tabel 5.10 er Fisher-Weil varigheden
og konveksiteten for de to obligationer beregnet. Nutidsværdien af 8% obligatio-
nen er 106.8894 pr. 100 kroner nominel værdi, nutidsværdien af 4% obligationen
er 91.8057 pr. 100 kroner nominel værdi, mens nutidsværdien af forpligtelsen er
805950.19 kroner. Fisher-Weil varigheden for forpligtelsen er naturligvis 4 ˚ar, mens
konveksiteten er 4 2 + 4 = 20.
For at finde en portefølje af de to obligationer, der vil immunisere forpligtelsen,
skal vi løse et ligningssystem som (5.25)–(5.26), hvor vi skal erstatte Macaulay-
varighederne med Fisher-Weil varighederne. Løsningen er analog til (5.27). Med
ovenst˚aende tal skal porteføljen best˚a af for cirka 407317 kroner nominel værdi af
8% obligationen med en værdi p˚a ialt W1 ≈ 435378.66 (en værdiandel p˚a 54.02%) og
8 Dette resultat blev vist af Cox, Ingersoll og Ross (1979). Den tilsvarende ˚arligt tilskrevne
rentestruktur følger af sammenhængen y1(t) = e y∞(t) − 1.