Indledende obligations - Syddansk Universitet

80 Investering i obligationer
af forpligtelsen er derfor
U = 1000000 · (1.05) −4 ≈ 822702.47,
mens varigheden p˚a forpligtelserne naturligvis er VU = 4˚ar. Med henblik p˚a at sikre
at den fremtidige forpligtelse kan imødekommes, vil virksomheden investere i en ob-
ligationsportefølje, der har samme nutidsværdi og samme varighed som forpligtelsen.
Da der er to betingelser til porteføljen, skal den best˚a af (mindst) to obligationer.
Idet konveksiteten kan ses som et m˚al for den tidsmæssige spredning af betalingerne,
og forpligtelsen i dette eksempel kun best˚ar af en enkelt betaling, vil konveksiteten
p˚a obligationsporteføljen automatisk blive større end konveksiteten p˚a de ønskede
betalinger. Vi behøver derfor ikke bekymre os om betingelsen KI > KU.
Lad W1 være den samlede værdi af de enheder af den første obligation, der indg˚ar
i vores portefølje, og lad V1 betegne varigheden p˚a den første obligation. W2 og V2
er de tilsvarende størrelser for den anden obligation. De to betingelser, der skal være
opfyldt, er
(5.25)
(5.26)
W1 + W2 = U,
W1
U V1 + W2
U V2 = VU,
jfr. formel (5.18), der gælder med lighedstegn, da rentestrukturen er flad. Vi skal
s˚aledes løse disse ligninger med hensyn til W1 og W2. Den generelle løsning til
ligningerne er
(5.27) W1 = V2 − VU
V2 − V1
U, W2 = VU − V1
V2 − V1
Lad os f.eks. sige at den ene obligation er et 8% st˚aende l˚an med præcis tre ˚ar
til udløb og én ˚arlig termin. Prisen pr. 100 kroner nominel værdi, varigheden og
konveksiteten p˚a denne obligation kan da beregnes til henholdsvis P1 ≈ 108.1697,
V1 ≈ 2.7920 ˚ar og K1 ≈ 10.8931. Den anden obligation er et 4% st˚aende l˚an med
præcis seks ˚ar til udløb og én ˚arlig termin. Prisen pr. 100 kroner nominel værdi er
P2 ≈ 94.9243, varigheden er V2 ≈ 5.4349, og konveksiteten er K2 ≈ 36.7678. Dermed
skal immuniseringsporteføljen best˚a af for cirka 412938 kroner nominel værdi af det
korte st˚aende l˚an med en værdi p˚a ialt W1 ≈ 446674.40 (svarende til en værdiandel
p˚a 54.29%) og for cirka 396135 kroner nominel værdi af det lange st˚aende l˚an med en
værdi p˚a ialt W2 ≈ 376028.07 (en værdiandel p˚a 45.71%). Porteføljens konveksitet er
U.