Indledende obligations - Syddansk Universitet

5.5 Effektiv rente og Macaulay-risikom˚al for porteføljer af obligationer 75
med porteføljens samlede værdi. Lad yi være den i’te obligations effektive rente, og
lad Vi være den i’te obligations varighed. Da kan porteføljens effektive rente yport
approksimeres ved 4
(5.17) yport ≈
M i=1 yiVizi
M i=1 Vizi
.
Endvidere kan en porteføljes varighed approksimeres med et vægtet gennemsnit af
de enkelte obligationers varighed:
(5.18) Vport ≈
M
Vizi.
i=1
Det samme gælder for konveksiteten p˚a en portefølje:
(5.19) Kport ≈
M
Kizi.
Disse relationer er eksakte, hvis alle obligationerne i porteføljen har samme effektive
rente.
Eksempel 5.5 Betragt igen porteføljen i Eksempel 5.4. Her er vægtene
og
i=1
z1 = 107512.60
305846.30
z2 = 198333.70
305846.30
≈ 0.3515
≈ 0.6485.
Obligationernes effektive renter er hhv. y1 = 4.8869% og y2 = 4.7690%. Deres va-
righed er hhv. V1 = 3.9504 og V2 = 2.6081. Formel (5.17) giver da, at porteføljens
effektive rente approksimativt er
yport ≈
4.8869% · 3.9504 · 0.3515 + 4.7690% · 2.6081 · 0.6485
3.9504 · 0.3515 + 2.6081 · 0.6485
= 4.8222%,
hvilket (i dette tilfælde) med fire decimalers nøjagtighed er identisk med den eksakte
effektive rente.
Formel (5.18) giver følgende approksimation af porteføljens varighed:
Vport ≈ 3.9504 · 0.3515 + 2.6081 · 0.6485 = 3.0799,
hvilket er tæt p˚a porteføljens korrekte varighed p˚a 3.0813˚ar. Ifølge approksimationen
i formel (5.19) er konveksiteten
4 Se f.eks. Jakobsen (1987).
Kport ≈ 20.8313 · 0.3515 + 9.5489 · 0.6485 = 13.5558,