Indledende obligations - Syddansk Universitet

5.2 Macaulay-varighed 63
dvs. elasticiteten af prisen P med hensyn til ændringer i størrelsen 1 + y. Trods
Macaulay-varighedens mange ˚ar p˚a bagen og dens klare mangler, som vi skal se
senere, er dette m˚al stadigt hyppigt anvendt. Det er s˚aledes denne varighed, der
vises i kurslisten fra Københavns Fondsbørs.
Indsættes (5.1) i definitionen f˚ar vi
(5.4) V =
tn
t=t1
−(t+1) 1 + y
tYt(1 + y)
P
hvor wt = Yt(1 + y) −t /P. Bemærk, at
t=t1
t=t1
= 1
P
tn
tYt(1 + y) −t =
t=t1
tn tn Yt(1 + y)
wt =
−t
= 1.
P
tn
twt,
Derfor kan varigheden fortolkes som en ydelsesvægtet gennemsnitlig restløbetid.
Dette m˚al er ofte et bedre m˚al for den tidsmæssige udstrækning af obligationens
betalinger end restløbetiden, som blot angiver den tidsmæssige afstand til den sidste
termin. Der kan dog være visse problemer med denne fortolkning.
(5.5)
Fra definitionen af varigheden følger, at
∂P
∂y
= − V P
1 + y .
Indsætter vi dette i (5.2), ser vi, at prisændringen ved en given ændring i den effektive
rente kan approksimeres ved
V P
(5.6) ∆P ≈ −
1 + y ∆y.
Ifølge denne approksimation er prisændringen proportional med renteændringen med
V P −1+y som proportionalitetsfaktor. Dette skyldes selvfølgelig, at første ordens Taylor-
udviklingen netop svarer til at approksimere prisens afhængighed af diskonterings-
renten med en ret linie. Som nævnt i begyndelsen af Kapitel 3 er sammenhængen
mellem pris og diskonteringsrente imidlertid ikke lineær, men derimod konveks. Vi
kan naturligvis omvendt approksimere ændringen i den effektive rente ved en given
kursændring:
1 + y
∆y ≈ −
V P ∆P.
Forholdet V/(1 + y) kaldes ofte for den modificerede Macaulay-varighed.
Fra (5.6) har vi, at den relative ændring i obligationsprisen ved en ændring i dens ef-
fektive rente (approksimativt) er minus obligationens modificerede Macaulay-varighed
t=t1