Indledende obligations - Syddansk Universitet

5.6 Om anvendeligheden af Macaulay-risikom˚alene 77
Kun under s˚adanne forudsætninger giver det mening at sammenligne Macaulays
varighed og konveksitet p˚a tværs af obligationer. Denne model for rentestrukturen er
imidlertid yderst urealistisk. Den i praksis observerede rentestruktur er sjældent bare
tilnærmelsesvis flad, og ændringer sker normalt ikke i form af parallelforskydninger.
Som vi skal se nedenfor, er forudsætningerne ikke alene urealistiske, de er ogs˚a i
direkte modstrid med ingen-arbitrage princippet. Forudsætningerne kan ikke være
rigtige i en arbitrage-fri dynamisk model for rentestrukturen.
P˚a trods af disse klare mangler ved Macaulay-m˚alene bliver de ikke desto mindre
hyppigt anvendt. En af de traditionelle anvendelser af m˚alene er i forbindelse med
immunisering. En person eller virksomhed, der investerer p˚a obligationsmarkedet,
vil ofte have nogle fremtidige forpligtelser, som betalingerne fra de erhvervede obliga-
tioner skal dække ihvertfald i en vis udstrækning. Der kan for eksempel være tale
om en pensionskasse, som kan forudse fremtidige udbetalinger til bedagede med-
lemmer. For en s˚adan investor er det vigtigt at have en vis kontrol over værdien
og udviklingen i værdien af den samlede strøm af ind- og udbetalinger. For finan-
sielle institutioner er det ligefrem lovpligtigt at sikre nettoværdien af betalingerne
(egenkapitalen) som en bestemt andel af værdien af forpligtelserne.
Antag at investoren st˚ar p˚a tidspunkt 0 og kan forudse indbetalinger It og udbe-
talinger Ut p˚a de fremtidige tidspunkter t = t1,t2,...,tn. Hvis der p˚a et tidspunkt,
f.eks. tk, kun sker en indbetaling, sættes Utk = 0. Tilsvarende, hvis der kun sker en
udbetaling p˚a et givet tidspunkt, s˚a sættes indbetalingen p˚a dette tidspunkt lig nul.
Vi antager i det følgende, at der ikke er nogen usikkerhed omkring størrelsen af
de fremtidige ind- og udbetalinger. Vi kan derfor definere værdien af indbetalingerne
(aktiverne) og udbetalingerne (passiverne) som hhv.
og
I =
U =
tn
It(1 + y1(t)) −t
t=t1
tn
Ut(1 + y1(t)) −t ,
t=t1
hvor y1(t) er nulkuponrenten hørende til tidspunkt t. Nettoværdien af porteføljen er
derfor
E = I − U =
tn
(It − Ut)(1 + y1(t)) −t .
t=t1
Idet alle betalingerne antages at være kendte, er den eneste kilde til usikkerhed om
udviklingen i E netop udviklingen i nulkuponrenterne. En portefølje, hvis nettoværdi