Indledende obligations - Syddansk Universitet

4.4 Nulkuponrenter og forwardrenter med ˚arlig rentetilskrivning 45
eller mere generelt
f1(t,s) =
(1 + y1(t)) −t/(s−t)
− 1.
(1 + y1(s)) −s/(s−t)
Formel (4.6) viser hvorledes en-periode forwardrenterne kan findes ud fra diskon-
teringsfunktionen. Omvendt gælder der, at
(4.8) d(t) −1 =
t
(1 + f1(j − 1,j)), t = 1,2,... .
j=1
For at vise dette bemærkes først, at (4.6) medfører, at
(4.9) d(t + 1) =
d(t)
1 + f1(t,t + 1) .
Idet d(0) som nævnt er lig 1, giver (4.9) med t = 0
d(1) =
d(0)
1 + f1(0,1) =
Bruges dette udtryk og formel (4.9) med t = 1 f˚as
d(2) =
Fortsættes p˚a samme m˚ade f˚as
d(t) =
hvilket ogs˚a kan skrives som
d(1)
1 + f1(1,2) =
1
1 + f1(0,1) .
1
(1 + f1(0,1))(1 + f1(1,2)) .
1
(1 + f1(0,1))(1 + f1(1,2))... (1 + f1(t − 1,t)) ,
d(t) −1 = (1 + f1(0,1))(1 + f1(1,2))... (1 + f1(t − 1,t)) =
som er identisk med (4.8).
t
(1 + f1(j − 1,j)),
Ved at indsætte (4.2) i (4.8) f˚as følgende sammenhæng mellem forwardrenter og
nulkuponrenter:
⎡
⎤
t
(4.10) 1 + y1(t) = ⎣ (1 + f1(j − 1,j)) ⎦
j=1
1/t
j=1
, t = 1,2,... ,
dvs. 1+y1(t) er et geometrisk gennemsnit af 1+f1(0,1),1+f1(1,2),... ,1+f1(t−1,t).
For eksempel er
(4.11) (1 + y1(2)) 2 = (1 + f1(0,1))(1 + f1(1,2)) = (1 + y1(1))(1 + f1(1,2)).
Hvor nulkuponrenten y1(t) angiver omkostningerne ved at l˚ane et beløb i t ˚ar (uden
mellemliggende renter og afdrag), s˚a er forwardrenten f1(t,t + 1) et udtryk for den
ekstra omkostning, der er ved at forlænge et l˚an fra t ˚ar til t + 1 ˚ar.