Fungsi dan Grafik Fungsi dan Grafik Diferensial dan ... - Ee-cafe.org

∆ l = PQ =
∆x
2
+ ∆y
2
Salah satu segmen diperlihatkan pada Gb.12.12.
Ada satu titik P′ yang terletak pada kurva di segmen ini yang terletak
antara P dan Q di mana turunan fungsi y ′(P′)
, yang merupakan garis
singgung di P′, sejajar dengan PQ. Menggunakan pengertian y ′(P′)
ini,
∆l dapat dinyatakan sebagai
∆l
=
y
∆x
2
+
2
2
[( y′
( P ′))
∆x] = 1+
( y′
(P′)) ∆x
y = f(x)
Q
P
∆l ∆y
∆x
x
a
b
Gb.12.12. Salah satu segmen pada kurva y = f (x)
.
Setiap segmen memiliki y ′(P′)
masing-masing yaitu y′
k , dan ∆l
masing-masing yaitu ∆l k . Jika n dibuat menuju ∞, panjang kurva dari x =
a ke x = b adalah
n
n
n
lab
= 2
∆lk
= + ( yk′
) ∆x
= ∑
2
lim ∑ lim ∑ 1
lim 1 + ( yk′
) ∆x
n→∞
n→∞
∆x→0
k = 1
k = 1
k = 1
atau
2
b ⎛ dy ⎞
lab =
∫
1 + ⎜ ⎟ dx
(12.32)
a ⎝ dx ⎠
Perlu kita ingat bahwa panjang suatu kurva tidak tergantung dari posisi
sumbu koordinat. Oleh karena itu (12.32) dapat ditulis juga sebagai
b dx
lab ∫ ′
2
⎛
dy
a′ dy
⎟ ⎞
= 1 +
⎜ dengan a′ dan b′ adalah batas-batas peubah
⎝ ⎠
bebas.
159