Fungsi dan Grafik Fungsi dan Grafik Diferensial dan ... - Ee-cafe.org

Fungsi e st tidak boleh nol untuk semua nilai t . Kondisi K = 0 juga tidak
diperkenankan karena hal itu akan berarti y a = 0 untuk seluruh t. Satusatunya
jalan agar persamaan ini dipenuhi adalah
2
as + bs + c = 0
(16.4)
Persamaan ini adalah persamaan karakteristik persamaan diferensial
orde dua. Secara umum, persamaan karakteristik yang berbentuk
persamaan kwadrat itu mempunyai dua akar yaitu:
2
− b ± b − 4ac
s1,
s2
= (16.5)
2a
Akar-akar persamaan ini mempunyai tiga kemungkinan nilai, yaitu: dua
akar riil berbeda, dua akar sama, atau dua akar kompleks konjugat.
Konsekuensi dari masing-masing kemungkinan nilai akar ini terhadap
bentuk solusi akan kita lihat lebih lanjut. Untuk sementara ini kita
melihat secara umum bahwa persamaan karakteristik mempunyai dua
akar.
Dengan adanya dua akar tersebut maka kita mempunyai dua solusi
homogen, yaitu:
s1t
s t
a1 = K1e
dan ya2
= K2e
(16.6)
y
2
Jika y a1 merupakan solusi dan y a2 juga merupakan solusi, maka jumlah
keduanya juga merupakan solusi. Jadi solusi homogen yang kita cari
akan berbentuk
Konstanta K 1
solusi total.
s1t
s t
a = K1 e + K2e
(16.7)
y
2
dan K 2 kita cari melalui penerapan kondisi awal pada
Solusi Khusus. Sulusi khusus kita cari dari persamaan (16.1). Solusi
khusus ini ditentukan oleh bentuk fungsi pemaksa, f(t). Cara menduga
bentuk solusi khusus sama dengan apa yang kita pelajari pada persamaan
orde satu. Kita umpamakan solusi khusus y khusus = y p .
Solusi Total. Dengan solusi khusus y p maka solusi total menjadi
s1t
s t
= y p + ya
= y p + K1 e + K2e
(16.8)
y
2
194 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral