Fungsi dan Grafik Fungsi dan Grafik Diferensial dan ... - Ee-cafe.org

16.2. Tiga Kemungkinan Bentuk Solusi
Sebagaimana disebutkan, akar-akar persamaan karakteristik yang
berbentuk umum as 2 + bs + c = 0 dapat mempunyai tiga kemungkinan
nilai akar, yaitu:
a). Dua akar riil berbeda, s 1 ≠ s 2 , jika {b 2 − 4ac } > 0;
b). Dua akar sama, s 1 = s 2 = s , jika {b 2 −4ac } = 0
c). Dua akar kompleks konjugat s 1 , s 2 = α ± jβ , jika {b 2 −4ac } < 0.
Tiga kemungkinan nilai akar tersebut akan memberikan tiga
kemungkinan bentuk solusi yang akan kita lihat berikut ini, dengan
contoh solusi pada persamaan diferensial tanpa fungsi pemaksa.
Dua Akar yata Berbeda. Kalau kondisi awal y(0 + ) dan dy/dt (0 + ) kita
terapkan pada solusi total (16.8), kita akan memperoleh dua persamaan
yaitu
+ +
+
y( 0 ) y p (0 ) K1 K2
dan y'(0
) y′
+
= + +
= p (0 ) + s1K1
+ s2K2
yang akan menentukan nilai K 1 dan K 2 . Jika kita sebut
(16.9)
+
+ +
A 0 = y( 0
+ ) − y p (0 ) dan B0
= y′
(0 ) − y ′ p (0 ) (16.10)
maka kita peroleh
dan dari sini kita memperoleh
K 1 + K2
= A0
dan s1K1
+ s2K2
= B0
s2A0
− B0
K1 =
dan
s2
− s1
sehingga solusi total menjadi
s1
A0
− B0
K2
=
s1
− s2
s2A0
− B0
s t s A B
1 1 0 − 0 s t
= y p + e + e (16.11)
s2
− s1
s1
− s2
y
2
Berikut ini kita lihat suatu contoh. Seperti halnya pada persamaan orde
pertama, pada persamaan orde dua ini kita juga mengartikan solusi
persamaan sebagai solusi total. Hal ini didasari oleh pengertian tentang
kondisi awal, yang hanya dapat diterapkan pada solusi total. Persamaan
yang hanya mempunyai solusi homogen kita fahami sebagai persamaan
dengan solusi khusus yang bernilai nol.
195