Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

1. BREVI RICHIAMI DI ANALISI 1
Teorema 1.5.1 (di Rolle) a
Sia f ∈ C([a, b]) e differenziabile in ]a, b[.
Se f(a) = f(b) = 0, allora esiste un punto
ξ ∈]a, b[ tale che f ′ (ξ) = 0
a Michel Rolle (1652- 1719) fu un matematico
francese. È conosciuto per il teorema che porta il
suo nome. Si deve a lui la notazione della radice
n-sima per mezzo del simbolo n√ x.
Teorema 1.5.2 (del Valor Medio) Sia
f ∈ C([a, b]) e differenziabile in ]a, b[,
allora esiste un punto ξ ∈]a, b[ tale che
f ′ f(b) − f(a)
(ξ) =
b − a
Teorema 1.5.3 (del Valore Intermedio)
Sia f ∈ C([a, b]) e sia K un valore compreso
tra f(a) e f(b). Allora esiste almeno un
punto ξ ∈]a, b[ tale che f(ξ) = K.
Quindi per funzioni continue, un valore compreso tra i due estremi dell’insieme di
definizione, è un valore assunto dalla funzione stessa (in uno o più punti).
Come conseguenza di questo teorema, se f(a)f(b) < 0 (la funzione assume segno opposto
agli estremi dell’intervallo [a, b]) allora esiste almeno un punto ξ tale che f(ξ) = 0, cioè esiste
almeno una radice dell’equazione f(x) = 0 nell’intervallo [a, b].
Teorema 1.5.4 (Esistenza del punto fisso) Data una funzione g definita in [a, b], continua e
tale che a ≤ g(x) ≤ b per ogni x ∈ [a, b], allora g ammette almeno un punto fisso.
Dimostrazione. Dire che una funzione g ammette almeno un punto fisso, vuol dire che
esiste almeno un punto ξ nel suo insieme di definizione, tale che g(ξ) = ξ.
Dalle ipotesi del teorema, i valori della funzione g sono contenuti nell’intervallo [a, b] e, in
particolare a ≤ g(a) ≤ b e a ≤ g(b) ≤ b. Definiamo, perciò, la funzione continua Φ(x) mediante
la relazione
Φ(x) = g(x) − x
Allora Φ(a) = g(a) − a > 0 e Φ(b) = g(b) − b < 0. Per il Teorema del Valore Intermedio esiste
almeno un punto ξ ∈]a, b[ tale che Φ(ξ) = 0, vale a dire g(ξ) − ξ = 0, cioè g(ξ) = ξ. Esiste
almeno un punto fisso per la funzione g. ✔
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