Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - UniversitÃ degli ...

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3. LIMITI, CONTINUITÀ, DIFFERENZIABILITÀ DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI 3.11 Formula di Taylor Quando si considerano funzioni scalari differenziabili e continue, la formula di Taylor è utile per approssimare la funzione in un intorno di un punto. Data la funzione f(x) e x 0 un punto che appartiene all’insieme di definizione della f, possiamo scrivere: f(x) = f(x 0 ) + f ′ (x 0 )(x − x 0 ) + (x − x 0) 2 f ′′ (ξ x ) 2 dove ξ x è un punto che si trova nell’insieme di definizione della f ed è compreso tra x e x 0 . La formula appena scritta prende il nome di formula di Taylor di centro x 0 e permette di approssimare la funzione f(x) in un intorno di x 0 utlizzando i valori della funzione in x 0 . Il polinomio T 1 (x) = f(x 0 ) + f ′ (x 0 )(x − x 0 ) è il polinomio di Taylor di primo grado. In questo caso rappresenta la retta tangente alla funzione f nel punto x 0 . Se noi approssiamo f(x) mediante il polinomio di Taylor di primo grado, commettiamo un errore dato da R 1 (x) = (x − x 0) 2 f ′′ (ξ x ), 2 che possiamo maggiorare, in valore assoluto, considerando M = max |f ′′ (x)| per x che varia nell’insieme di definizione della f, ottenendo | (x − x 0) 2 f ′′ (ξ x )| ≤ |M (x − x 0) 2 |, un errore del 2 2 secondo ordine. In generale, il polinomio di Taylor di grado n è dato da T n (x) = f(x 0 ) + f ′ (x 0 )(x − x 0 ) + f ′′ (x 0 ) 2! (x − x 0 ) 2 + f (3) (x 0 ) 3! (x − x 0 ) 3 + . . . + f (n) (x 0 ) (x − x 0 ) n n! Se approssimiamo f(x) con il polinomio di Taylor T n (x), l’errore che si commette è di ordine n + 1, poichè vale R n (x) = f (n+1) (ξ x ) (x − x 0 ) n+1 . (n + 1)! Nel caso di funzioni di più variabili, il polinomio di Taylor deve considerare le derivate parziali della funzioni. Teorema 3.11.1 Consideriamo una funzione f(x, y) di classe C 2 . Allora per ogni punto P 0 nell’insieme di definizione della f, vale la formula di Taylor data da f(x, y) = f(x 0 , y 0 ) + f x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + f y (x 0 , y 0 )(y − y 0 ) + 1 2 f xx(ξ x , η y )(x − x 0 ) 2 + f xy (ξ x , η y )(x − x 0 )(y − y 0 ) + 1 2 f yy(ξ x , η y )(y − y 0 ) 2 dove Q(ξ x , η y ) è un opportuno punto che si trova sul segmento di estremi P e P 0 . Se approssimiamo la funzione f(x, y) con il polinomio di Taylor di primo grado dato da T 1 (x, y) = f(x 0 , y 0 ) + f x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + f y (x 0 , y 0 )(y − y 0 ) commettiamo un errore dato da R 1 (x) = 1 2 f xx(ξ x , η y )(x − x 0 ) 2 + xy (ξ x , η y )(x − x 0 )(y − y 0 ) + 1 2 f yy(ξ x , η y )(y − y 0 ) 2 che è un errore del secondo ordine (abbiamo infatti le potenze (x − x 0 ) 2 , (x − x 0 )(y − y 0 ), (y − y 0 ) 2 ). Osserviamo che il polinomio di Taylor T 1 (x, y) altro non è che l’equazione del piano tangente alla superficie della funzione f(x, y) nel punto (x 0 , y 0 , f(x 0 , y 0 )). Se consideriamo il polinomio di Taylor di ordine zero per approssimare la funzione f(x, y), abbiamo il cosidetto teorema di Lagrange. 32
3.11. Formula di Taylor Teorema 3.11.2 (di Lagrange) Data f : A −→ R con A ⊂ R 2 , f di classe C 1 , e dato P 0 (x 0 , y 0 ) ∈ A, si ha f(x, y) = f(x 0 , y 0 ) + f x (ξ x , η y )(x − x 0 ) + f y (ξ x , η y )(y − y 0 ) dove Q(ξ x , η y ) è un opportuno punto che si trova sul segmento di estremi P e P 0 . 33
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Bibliografia [1] DAWKINS, P. (2007)
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