Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

7.7. Cambiamento di variabili
Figura 7.10: Trasformazione dell’elemento S nel piano uv nell’elemento R nel piano xy.
3. in ogni punto (u, v) lo jacobiano risulta diverso da zero 2
∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣ ∂x
∂(x, y)
∣∂(u, v) ∣ = ∂u
∂y
∂u
∂x
∂v
= ∂x ∂y
∂y
∂u ∂v − ∂y ∂x
∂u ∂v ≠ 0
∣
∂v
Un esempio di trasformazione regolare è dato dalle coordinate polari
x = x(ρ, θ) = ρ cos (θ) y = y(ρ, θ) = ρ sin (θ) con ρ > 0 e 0 ≤ θ ≤ 2π.
Cerchiamo di capire, ora, come un cambiamento di variabili agisca sul calcolo di un
integrale doppio. Ricordiamo che, nel caso di un integrale di una funzione scalare il cambiamento
di variabile porta alla tecnica della sostituzione: data una funzione f(x) da integrare
in [a, b] si ha
∫ b
a
f(x)dx =
∫ d
c
f(g(u))g ′ (u)du
dove x = g(u), a = g(c), b = g(d). Nel caso di funzioni di due variabili, cosa si fa e per quale
motivo
7.7.1 Significato dello jacobiano
Consideriamo un rettangolino S nel piano uv il cui angolo in basso a sinistra è dato dal
punto (u 0 , v 0 ), e di dimensioni ∆u e ∆v. L’immagine della regione S attraverso la trasformazione
regolare T sia la regione R del piano xy. Uno dei punti della frontiera sia proprio
l’immagine del punto (u 0 , v 0 ), cioè (x 0 , y 0 ) = T (u 0 , v 0 ). Si veda la Figura 7.10.
La trasformazione T sia data mediante due equazioni parametriche del tipo x = x(u, v) e
y = y(u, v) che possiamo vedere come una funzione vettoriale ⃗r(u, v) = (x(u, v), y(u, v)). Il lato
del rettangolino di S che si ha per v = v 0 viene trasformato in R mediante la curva ⃗r(u, v 0 )
(che dipende ora solo dal parametro u). Di questa curva il vettore tangente in u = u 0 (quindi
al punto (x 0 , y 0 )) è dato da ⃗r tu = ( ∂x(u 0, v 0 )
, ∂y(u 0, v 0 )
).
∂u ∂u
Alla stessa maniera, troviamo che il vettore tangente alla curva ⃗r(u 0 , v) nel punto v = v 0 è
dato da ⃗r tv = ( ∂x(u 0, v 0 )
, ∂y(u 0, v 0 )
).
∂v ∂v
2 Si rimanda alla definizione 4.7.1 per ricordare cosa è lo jacobiano.
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