Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

3.8. Derivata direzionale
può scrivere come P = P 0 + h⃗v con h scalare. Ciò significa che le coordinate del punto P si
possono scrivere come
x = x 0 + hα 1 y = y 0 + hα 2
La variazione della f tra il punto P e il punto P 0 è data da f(x 0 + hα 1 , y 0 + hα 2 ) − f(x 0 , y 0 ).
Definizione 3.8.1 Definiamo derivata direzionale della f lungo la direzione ⃗v il limite, se
esiste ed è finito,
f(x 0 + hα 1 , y 0 + hα 2 ) − f(x 0 , y 0 )
lim
h→0
h
Questo limite si indica in modo equivalente tramite la scrittura ∂f
∂⃗v (x 0, y 0 ) o D ⃗v f(P 0 ).
Dalla definizione data, risulta evidente che se ⃗v = ⃗i indicando con ⃗i il versore unitario
dell’asse x, di componenti (1, 0), allora D ⃗v f(P 0 ) = f x (P 0 ), mentre se ⃗v = ⃗j il versore unitario
dell’asse y, di componenti (0, 1), allora D ⃗v f(P 0 ) = f y (P 0 ). Quindi le derivate parziali rispetto
a x e rispetto a y sono un caso particolare di derivate direzionali.
Vale il seguente teorema, detto formula del gradiente perchè la derivata direzionale, sotto
determinate condizioni, è legata al gradiente della funzione assegnata.
Definizione 3.8.2 Data una funzione f che ammette derivate parziali in P 0 , il vettore indicato
con il simbolo ⃗ ∇f(P 0 ) o grad f(P 0 ) prende il nome di gradiente della funzione in P 0 e ha come
componenti le derivate parziali prime della f in P 0 :
⃗∇f(P 0 ) = (f x (P 0 ), f y (P 0 )).
Teorema 3.8.1 (Formula del gradiente) Data f : A −→ R con A ⊂ R 2 , se f è differenziabile
in P 0 (x 0 , y 0 ) allora f ammette derivata direzionale lungo una qualsiasi direzione unitaria
⃗v(α 1 , α 2 ) e risulta
∂f
∂⃗v (P 0) = f x (P 0 )α 1 + f y (P 0 )α 2
Quindi la derivata direzionale si può vedere come il prodotto scalare tra il gradiente della
funzione in P 0 e il vettore ⃗v.
∂f
∂⃗v (P 0) = ⃗ ∇f(P 0 ) · ⃗v
Dimostrazione.
Poichè f è differenziabile, vale
f(x, y) − f(x 0 , y 0 ) = f x (P 0 )(x − x 0 ) + f y (P 0 )(y − y 0 ) + σ(x, y) √ (x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2
dove σ è una funzione infinitesima per (x, y) → (x 0 , y 0 ).
Poichè devo calcolare la derivata direzionale, considero come punto (x, y) il punto che si
trova sulla retta passante per (x 0 , y 0 ) e avente direzione data dal vettore ⃗v. Quindi, come
prima, x = x 0 + hα 1 e y = y 0 + hα 2 .
Sostituendo nella formula della differenziabilità si ricava:
f(x 0 +hα 1 , y 0 +hα 2 )−f(x 0 , y 0 ) = f x (P 0 )(hα 1 )+f y (P 0 )(hα 2 )+σ(x 0 +hα 1 , y 0 +hα 2 ) √ h 2 (α 1 ) 2 + h 2 (α 2 ) 2
Dividiamo ambo i membri per h, ricordando anche che, poichè il vettore è unitario, si ha
√
h2 (α 1 ) 2 + h 2 (α 2 ) 2 = |h| √ (α 1 ) 2 + (α 2 ) 2 = |h|. Quindi si ottiene:
f(x 0 + hα 1 , y 0 + hα 2 ) − f(x 0 , y 0 )
h
= f x (P 0 )α 1 + f y (P 0 )α 2 + |h|
h σ(x 0 + hα 1 , y 0 + hα 2 )
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