Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

3.7. Differenziale
Dividendo per y − y 0 si ha
f(x 0 , y) − f(x 0 , y 0 )
y − y 0
= µ + |y − y 0|
y − y 0
σ(x 0 , y)
Passando al limite per y → y 0 si ha che |y − y 0|
y − y 0
σ(x 0 , y) → 0 e quindi
f(x 0 , y) − f(x 0 , y 0 )
lim
= µ
y→y 0 y − y 0
vale a dire f y (x 0 , y 0 ) = µ.
Quindi se f è differenziabile in P 0 , la f ammette le derivate parziali prime in P 0 e vale
f(x, y) − f(x 0 , y 0 ) = f x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + f y (x 0 , y 0 )(y − y 0 ) + σ(x, y) √ (x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 .
✔
Come conseguenza, una funzione differenziabile in P 0 è continua in P 0 .
Proposizione 3.6.2 Sia f : A −→ R, con A aperto di R 2 . Sia f differenziabile in P 0 ∈ A, allora
f è continua in P 0 .
Dimostrazione. Poichè f è differenziabile in P 0 , esiste una funzione infinitesima per
(x, y) → (x 0 , y 0 ) , σ(x, y) , tale che
cioè
f(x, y) − f(x 0 , y 0 ) = f x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + f y (x 0 , y 0 )(y − y 0 ) + σ(x, y) √ (x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 .
Per (x, y) → (x 0 , y 0 ) il secondo membro della relazione appena scritta tende a zero, quindi
lim f(x, y) − f(x 0, y 0 ) = 0
(x,y)→(x 0,y 0)
lim f(x, y) = f(x 0, y 0 )
(x,y)→(x 0,y 0)
La f è continua in P 0 . ✔
Teorema 3.6.1 Se f ∈ C 1 (A), con A aperto di R 2 , allora f è differenziabile in A.
3.7 Differenziale
Ricordiamo ora il concetto di differenziale di una funzione di una sola variabile.
Definizione 3.7.1 Data una funzione f(x) e assumendo che la derivata f ′ (x) = df
dx
un punto x, il differenziale totale df della funzione è dato da
( ) df
df = dx = f ′ (x)dx.
dx
esiste in
La quantità df può essere interpretata come il cambiamento infinitesimale del valore della
funzione f(x) quando x cambia di una quantità infinitesima dx. Per esprimere questo da un
punto di vista formale, consideriamo l’incremento ∆f = f(x + ∆x) − f(x) che rappresenta
l’incremento sulla f quando x è incrementato di una quantità finita ∆x.
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