Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

5. LE CURVE
Figura 5.3: Curva data da x = t 2 + t, y = 2t − 1, con −1
Definizione 5.1.2 La curva di equazioni parametriche
x = f(t), y = g(t), t 0 ≤ t ≤ t f
ha punto iniziale (f(t 0 , g(t 0 )) e punto finale (f(t f ), g(t f )).
Esempio
Es. 5.1.3 Cerchiamo di capire qual è la curva rappresentata dalle equazioni
parametriche x = cos t, y = sin t, con 0 ≤ t ≤ 2π.
Se facciamo un grafico con le coppie di punti (x, y) al variare di t, otteniamo il grafico
di una circonferenza. Ne abbiamo conferma eliminando il parametro t. Questa volta
sfruttiamo le relazioni trigonometriche osservando che
x 2 + y 2 = cos 2 t + sin 2 t = 1
Quindi la circonferenza ha centro nell’origine e raggio 1.
In questo esempio il parametro t può essere interpretato come l’angolo in radianti. Al
variare di t in [0, 2π], il punto (x, y) = (cos t, sin t) si muove sulla circonferenza in direzione
antioraria partendo dal punto (1, 0) e ritornando allo stesso punto.
Esempio
Es. 5.1.4 Vediamo ora la curva rappresentata dalle equazioni parametriche x = sin 4t ,
y = cos 4t, con 0 ≤ t ≤ 2π.
Di nuovo, da x 2 + y 2 = sin 2 4t + cos 2 4t = 1 ritroviamo l’equazione della circonferenza di
centro l’origine e raggio 1.
Questa volta, però, il punto iniziale della curva si ha in (sin 0, cos 0) = (0, 1). Per valori di t
crescenti, la particella si muove in direzione oraria lungo la circonferenza e la percorre 4
volte (il punto (0, 1) si ha per t = 0, π/2, π, 3π/2, 2π.
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