Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

9. FORME DIFFERENZIALI
Vale infatti il seguente teorema
Teorema 9.2.1 Data una forma differenziale ω e una curva regolare +γ si ha
∫ ∫
ω = − ω
−γ
+γ
Dimostrazione. Dimostriamo questo teorema considerando che se una curva +γ è data
da f = (x(t), y(t)) con a ≤ t ≤ b, la curva opposta si può scrivere come −γ con F = (˜x(t), ỹ(t)) =
(x(−t), y(−t)) con −b ≤ t ≤ −a Quindi ˜x ′ (t) è uguale alla derivata della funzione x(−t) che va
vista come la funzione composta x(h(t)) con h(t) = −t. Derivando, quindi, si ha la derivata di
x valutata in h(t) = −t per la derivata di h(t) che vale −1, da cui: ˜x ′ (t) = x ′ (−t)(−1) = −x ′ (−t).
Analogamente, vale ỹ(−t) = −y ′ (−t).
Allora
∫ ∫ −a
ω = (X(˜x(t), ỹ(t))˜x ′ (t) + Y (˜x(t), ỹ(t)), ỹ ′ (t)) dt
−γ
=
=
−b
∫ −a
−b
∫ −a
−b
(X(x(−t), y(−t))(−x ′ (−t)) + Y (x(−t), y(−t)), (−y ′ (−t))) dt
− (X(x(−t), y(−t))x ′ (−t) + Y (x(−t), y(−t))y ′ (−t)) dt
facendo il cambiamento di variabili u = −t, du = −dt
e considerando che per t = −b, u = b, e per t = −a, u = a
=
∫ a
b
∫ b
= −
∫
= −
(X(x(u), y(u))x ′ (u) + Y (x(u), y(u))y ′ (u)) du
a
+γ
(X(x(u), y(u))x ′ (u) + Y (x(u), y(u))y ′ (u)) du
ω
✔
Quindi nel fare gli integrali curvilinei delle forme differenziali occorre prestare molta attenzione
all’orientamento della curva. Per questo motivo, gli integrali curvilinei delle forme
differenziali sono detti integrali orientati.
Invece, anche per le forme differenziali, l’integrale curvilineo non dipende dal tipo di
rappresentazione utilizzata per la curva, cioè non dipende dalla scelta della rappresentazione
parametrica.
Si ha infatti la seguente proposizione
Proposizione 9.2.1 L’integrale curvilineo ∫ ω non dipende dalla particolare rappresentazione
della curva regolare
+γ
+γ.
Dimostrazione. Sia data la curva +γ tramite la funzione f = (x(t), y(t)), con a ≤ t ≤ b o,
in maniera equivalente, tramite la funzione F = (x F (u), y F (u)), con α ≤ u ≤ β . Sappiamo che,
dovendo rappresentare la medesima curva, le due funzioni f e F sono legate tra loro mediante
una funzione φ : [α, β] ⇒ [a, b] con φ ′ (u) > 0, tale che φ(α) = a, φ(β) = b e F(u) = f(φ(u))
Torniamo all’integrale curvilineo. Da una parte
∫
+γ
ω =
∫ b
a
(X(x(t), y(t))x ′ (t) + Y (x(t), y(t))y ′ (t)) dt
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