Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

7.2. Richiamo sugli integrali semplici
Utilizzando questa formula e il risultato precendente, e scambiando il ruolo di y 0 e y 1
troviamo che vale 1
∂F (y 0 , y 1 , x)
∂y 0
= −f(x, y 0 )
✔
Si può pensare, della F di voler calcolare anche la derivata parziale rispetto alla x. In tal
caso vale la relazione
∫
∂F
y1
∂x = ∂f(x, y)
dy
y 0
∂x
Valgono inoltre le seguenti proposizioni
Proposizione 7.1.3 Se f è di classe C 1 anche F è di classe C 1 .
Se si fa variare y in un certo intervallo definito da due funzioni dipendenti da x: α(x) ≤
y ≤ β(x), con α e β funzioni di classe C 0 , possiamo definire la funzione
F (x) =
∫ β(x)
α(x)
f(x, y)dy
Proposizione 7.1.4 Se le funzioni f, α e β sono di classe C 1 allora anche la funzione F (x) =
∫ β(x)
α(x) f(x, y)dy è di classe C1 e vale
∫ β(x)
F ′ (x) = f(x, β(x))β ′ (x) − f(x, α(x))α ′ (x) +
α(x)
Dimostrazione. Vediamo F (x) = F (α(x), β(x), x).
Allora, per la derivazione delle funzioni composte:
F ′ (x) =
∂F
∂α(x) α′ (x) +
∂F
∂β(x) β′ (x) + ∂F
∂x
∂f(x, y)
dy
∂x
Applicando i risultati già visti per ciascuna di queste derivate parziali, ritroviamo l’asserto.
✔
7.2 Richiamo sugli integrali semplici
Prima di vedere cosa sono gli integrali multipli (doppi o tripli), rivediamo brevemente cosa
è un integrale definito di una funzione che dipende da una sola variabile:
∫ b
a
f(x)dx
1 Possiamo pensare di riscrivere la F come F (y 0 , y 1 , x) = R y 1
y f(x, y)dy = − R y 0
0 y f(x, y)dy = −G(y
1
1 , y 0 , x) dove
G(y 1 , y 0 , x) = R y 0
y f(x, y)dy
1
Di G (avendo scambiato il ruolo di y 0 e y 1 ) sappiamo qual è la derivata rispetto a y 0 (secondo estremo di
integrazione):
Allora
∂G
∂y 0
= f(x, y 0 )
∂F (y 0 , y 1 , x)
∂y 0
Ritroviamo dunque l’asserto.
= − ∂G
∂y 0
= −f(x, y 0 )
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