Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - UniversitÃ degli ...

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3. LIMITI, CONTINUITÀ, DIFFERENZIABILITÀ DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI Esempio Es. 3.3.2 Calcolare le derivate parziali prime della funzione f(x, y) = 3x 5 + 2 √ y − 10xy. Per calcolare la derivata f x (x, y) trattiamo la y come una costante, da cui f x (x, y) = 15x 4 − 10y. Notiamo che la derivata rispetto a x di 2 √ y vale zero perchè la y è una costante. Al contrario, per calcolare f y (x, y) dobbiamo ora trattare x come una costante, da cui f y (x, y) = 1 √ y − 10x. 3.4 Interpretazione delle derivate parziali Sono possibili due interpretazioni sul significato delle derivate parziali prime. G Se consideriamo la derivata parziale come la velocità di cambiamento della funzione allora f x (x, y) rappresenta la velocità di cambiamento della funzione al variare di x per y fissato, mentre f y (x, y) rappresenta la velocità di cambiamento della funzione al variare di y per x fissato. Quindi se f x (x 0 , y 0 ) > 0 vuol dire che la funzione è crescente in quel punto al variare di x, per y 0 fissato, mentre se f x (x 0 , y 0 ) < 0 vuol dire che la funzione è decrescente in quel punto al variare di x, per y 0 fissato. Stesso discorso vale su f y (x 0 , y 0 ): se f y (x 0 , y 0 ) > 0 allora la funzione è crescente in quel punto al variare di y, per x 0 fissato, mentre se f y (x 0 , y 0 ) < 0 la funzione è decrescente in quel punto al variare di y, per x 0 fissato. È possibile che una funzione sia crescente fissato y e decrescente fissato x o viceversa. G L’altra interpretazione, geometrica, estende il concetto di pendenza della retta tangente che abbiamo per funzioni di una sola variabile, per cui f ′ (x 0 ) rappresenta la pendenza della retta tangente alla funzione f(x) nel punto x 0 . Nel caso di funzioni di due variabili, f x (x 0 , y 0 ) rappresenta la pendenza della traccia della funzione f(x, y) nel piano y = y 0 nel punto (x 0 , y 0 ) (in altre parole è la pendenza della retta tangente alla curva che si ottiene intersecando la superficie che rappresenta la funzione f(x, y), cioè il grafico della f, con il piano verticale y = y 0 ), mentre f y (x 0 , y 0 ) rappresenta la pendenza della traccia della funzione f(x, y) con il piano x = x 0 nel punto (x 0 , y 0 ). 3.5 Derivate parziali di ordine più elevato Così come per le funzioni di una sola variabile è possibile definire le derivate di ordine più elevato (derivata seconda, terza, quarta, n-sima), anche per le funzioni di più variabili è possibile definire le derivate di ordine più elevato. Ci soffermiamo al caso di funzioni di due variabili. Data una funzione f(x, y), dal momento che abbiamo due derivate parziali prime f x e f y , su ciascuna di queste funzioni possiamo pensare di applicare ancora la definizione di derivata parziale rispetto a x e rispetto a y, ottenendo, in tal modo, quattro possibili combinazioni. Abbiamo le seguenti scritture: (f x ) x = f xx = ∂ ( ) ∂f ∂x ∂x (f x ) y = f xy = ∂ ( ) ∂f ∂y ∂x = ∂2 f ∂x 2 = ∂2 f ∂y∂x 24
3.6. Differenziabilità di una funzione (f y ) x = f yx = ∂ ( ) ∂f ∂x ∂y (f y ) y = f yy = ∂ ( ) ∂f ∂y ∂y = ∂2 f ∂x∂y = ∂2 f ∂y 2 Le derivate f xy e f yx sono dette anche derivate parziali miste perchè le derivate sono fatte rispetto a più di una variabile. Osserviamo che, dal punto di vista della notazione usata, quando l’indice della derivata parziale è posta in basso della funzione, per esempio f xy , dobbiamo derivare da sinistra verso destra: in questo caso prima facciamo la derivata rispetto a x e poi rispetto a y. Quando invece usiamo la notazione frazionale ( ∂2 f ) la notazione è opposta: si va da destra verso ∂y∂x sinistra. Nell’esempio, il risultato è lo stesso, prima si deriva rispetto a x e poi rispetto a y. Esempio Es. 3.5.1 Calcolare le derivate seconde di f(x, y) = sin (xy) − x 3 e 4y + 4y 2 . Prima di tutto calcoliamo le derivate parziali prime: f x (x, y) = y cos (xy) − 3x 2 e 4y f y (x, y) = x cos (xy) − 4x 3 e 4y + 8y Passiamo ora alle derivate seconde: f xx (x, y) = −y 2 sin (xy) − 6xe 4y f xy (x, y) = cos (xy) − xy sin (xy) − 12x 2 e 4y f yx (x, y) = cos (xy) − xy sin (xy) − 12x 2 e 4y f yy (x, y) = −x 2 sin (xy) − 16x 3 e 4y + 8 Nell’esempio appena visto, le derivate parziali miste sono coincidenti. Si tratta di una “coincidenza” o no In realtà la funzione data gode di una proprietà importante che ci permette di avere questo risultato. Teorema 3.5.1 (di Clairaut-Schwarz) Data la funzione f definita in un insieme aperto A che contiene il punto (x 0 , y 0 ), se le funzioni f xy e f yx sono continue in A, allora f xy (x 0 , y 0 ) = f yx (x 0 , y 0 ). 3.6 Differenziabilità di una funzione Prima di entrare a parlare di differenziabilità di una funzione, introduciamo una notazione per degli spazi di funzioni definite in un insieme aperto I ⊂ R 2 . G Si indica con C 0 (I) l’insieme delle funzioni continue in I (si dice anche che la funzione è di classe C 0 ). G Si indica con C 1 (I) l’insieme delle funzioni definite in I le cui derivate parziali prime sono continue in I (si dice anche che la funzione è di classe C 1 ). G Si indica con C 2 (I) l’insieme delle funzioni definite in I le cui derivate parziali prime e seconde sono continue in I (si dice anche che la funzione è di classe C 2 ). 25
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Bibliografia [1] DAWKINS, P. (2007)
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