Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

2. FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI
x 0 . Se indichiamo con A ɛ (x 0 ) questo insieme, possiamo dire che
A ɛ (x 0 ) = {x ∈ R : |x − x 0 | < ɛ}
Generalizziamo questa definizione in R n .
Definizione 2.2.10 Dato P 0 ∈ R n e ɛ > 0, l’insieme dei punti P di R n che hanno distanza da
P 0 minore di ɛ prende il nome di intorno circolare di centro P 0 e raggio ɛ.
Indichiamo con A ɛ (P 0 ) questo insieme, possiamo dire che
A ɛ (P 0 ) = {P ∈ R n : |P − P 0 | < ɛ}
G In R 2 , considerando P 0 (x 0 , y 0 ), e il generico punto P (x, y) si ha
{
A ɛ (P 0 ) = P (x, y) ∈ R 2 : √ }
(x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 < ɛ
Osserviamo che l’equazione
(x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 = ɛ 2
rappresenta l’equazione di una circonferenza di centro il punto (x 0 , y 0 ) e raggio ɛ. Quindi
l’intorno di (x 0 , y 0 ) è dato da tutti i punti contenuti all’interno della circonferenza (nel
cerchio), ma non i punti che si trovano sulla circonferenza.
G In R 3 , preso P 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) e considerato P (x, y, z) il generico punto di R 3 , si ha
{
A ɛ (P 0 ) = P (x, y, z) ∈ R 3 : √ }
(x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 + (z − z 0 ) 2 < ɛ
Dal momento che l’equazione
(x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 + (−z 0 ) 2 = ɛ 2
rappresenta l’equazione della sfera di centro P 0 e raggio ɛ, l’intorno di P 0 è dato da tutti
i punti che si trovano all’interno della sfera ma non sulla superficie della sfera.
Vediamo ora altre definizioni che saranno utili nel seguito.
Definizione 2.2.11 Dato I ⊂ R n :
G Diremo che un punto P 0 ∈ R n è un punto di frontiera di I se ogni intorno di P 0 contiene
almeno un punto di I e un punto che non appartiene a I.
G Diremo che un punto P 0
∈ R n è un punto interno di I se esiste un intorno di P 0 tutto
contenuto in I.
G Diremo che I è un insieme chiuso se ciascun punto di frontiera di I appartiene a I.
G Diremo che I è un insieme aperto se nessun punto di frontiera di I appartiene a I.
G L’insieme interno di I è l’insieme dei punti interni di I che non sono di frontiera di I.
G L’insieme di frontiera di I è l’insieme di tutti i punti di frontiera di I.
G L’insieme esterno di I è l’insieme dei punti che non sono di I e che non sono di frontiera
di I.
Definizione 2.2.12 Dato I ⊂ R n :
G Diremo che P 0 ∈ R n è punto di accumulazione di I se per ogni intorno di P 0 ci sono infiniti
punti che appartengono a I.
G Diremo che P 0 ∈ I è punto isolato di I se non è punto di accumulazione per I.
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Esempi:
G L’intorno circolare di un punto P 0 , A ɛ (P 0 ) è un insieme aperto perchè nessun punto
della frontiera appartiene ad esso.